Conceptos Clave de Electricidad: Ley de Ohm, Modelo de Drude y FEM

La Ley de Ohm

La corriente que circula por un conductor eléctrico es directamente proporcional a la tensión e inversamente proporcional a la resistencia, siempre y cuando su temperatura se mantenga constante. La fórmula que representa esta ley es:

V = I * R

Forma microscópica y derivación

La ley de Ohm también puede expresarse en su forma vectorial o microscópica, relacionando el vector de densidad de corriente (J) con el campo eléctrico (E) a través de la conductividad eléctrica (σ):

J = σ * E

Donde el campo eléctrico total (E) es la suma del campo producido por la carga del alambre (E_int) y el campo externo (E_ext). Por lo tanto:

J / σ = Eint + Eext

Considerando que J = (I/A) * n, donde n es el vector unitario tangente al filamento, podemos integrar a lo largo de una sección del conductor desde un punto 1 a un punto 2:

∫¹₂ (I * dl) / (A * σ) = ∫¹₂ Eint * dl + ∫¹₂ Eext * dl

Esta integral representa el trabajo total de los campos que actúan en la sección del alambre. Desglosando las integrales:

• ∫¹₂ Eint * dl = Φ₁ - Φ₂ (la diferencia de potencial eléctrico).
• ∫¹₂ Eext * dl = f.e.m. (la fuerza electromotriz).

Combinando los términos, obtenemos la caída de potencial entre los puntos 1 y 2 (V₁₂):

(I * L₁₂) / (A * σ) = (Φ₁ - Φ₂) + f.e.m. = V₁₂

Sabiendo que la resistividad (ρ) es la inversa de la conductividad (ρ = 1/σ), podemos reescribir la ecuación:

I * (ρ * L₁₂ / A) = V₁₂

Donde el término (ρ * L / A) es la resistencia (R). Esto nos lleva de nuevo a la forma macroscópica de la ley:

I * R₁₂ = V₁₂

Modelo de Drude-Lorentz

El modelo de Drude para la conducción eléctrica fue desarrollado por Paul Drude en 1900 para explicar el transporte de electrones en materiales, especialmente en metales. Este modelo proporciona una base desde la mecánica clásica para entender la conductividad de los materiales, basándose en la aplicación de la teoría cinética de los gases.

Desarrollo del modelo

El modelo describe el movimiento de un electrón promedio con la siguiente ecuación diferencial, donde se considera una fuerza de arrastre o fricción (proporcional a la velocidad):

m * dv/dt = qE - γv

Donde:

• m: masa efectiva del electrón.
• v: velocidad promedio.
• q: carga eléctrica del electrón.
• E: campo eléctrico.
• γ: coeficiente de fricción o amortiguamiento.

La solución estacionaria (cuando dv/dt = 0) de esta ecuación es:

v = (q/γ) * E

Definiendo el tiempo de relajación o tiempo medio entre colisiones como τ = m/γ, la velocidad se puede expresar como:

v = (qτ/m) * E = μ * E

Donde μ es la movilidad eléctrica del portador de carga.

Si se introduce la densidad del gas de portadores de carga n (partículas por unidad de volumen), podemos relacionar la velocidad promedio con la densidad de corriente J:

J = n * q * v

Sustituyendo la expresión de la velocidad, se demuestra que el material satisface la Ley de Ohm con una conductividad eléctrica en corriente continua (CC) σ₀:

J = (nq²τ/m) * E = σ₀ * E

Respuesta a un campo eléctrico variable

Para un campo eléctrico que varía en el tiempo con una frecuencia angular ω, la conductividad también depende de la frecuencia:

σ(ω) = σ₀ / (1 + iωτ)

Se ha supuesto un campo eléctrico de la forma E(t) = Re(E₀ * eiωt), lo que resulta en una densidad de corriente J(t) = Re(σ(ω) * E₀ * eiωt).

Movimiento de electrones ligados

Para electrones ligados a los átomos, se añade un término de fuerza restauradora (elástica) al modelo. La ecuación de movimiento para el momento dipolar eléctrico del electrón ligado (p = -er) es más compleja:

m * d²r/dt² = -e(E + v x B) - kr - βv

Donde:

• k: constante de la fuerza elástica.
• β: constante de la fuerza viscosa o de amortiguamiento.

A partir de esta ecuación, y relacionando el vector de polarización P con el desplazamiento r (P = nₐ * q * r), se puede derivar la permitividad dieléctrica dependiente de la frecuencia del material.

La Fuerza Electromotriz (FEM)

La fuerza electromotriz (FEM), representada como , es toda causa capaz de mantener una diferencia de potencial entre dos puntos de un circuito abierto o de producir una corriente eléctrica en un circuito cerrado. Es una característica fundamental de cada generador eléctrico (como una batería o un dínamo).

De forma general, se explica por la existencia de un campo electromotor cuya circulación, , define la fuerza electromotriz del generador.

Definición y Unidades

Se define como el trabajo que el generador realiza para mover una unidad de carga positiva desde el polo negativo hasta el polo positivo en su interior. La FEM se mide en voltios (V), al igual que el potencial eléctrico.

Este trabajo es necesario para superar la repulsión eléctrica y transportar la carga desde un punto de menor potencial (polo negativo) a uno de mayor potencial (polo positivo), permitiendo que la corriente fluya por el circuito externo.

FEM y Resistencia Interna

La FEM se relaciona con la diferencia de potencial (o voltaje en los bornes) y la resistencia interna del generador mediante la siguiente fórmula:

El producto representa la caída de potencial que ocurre dentro del generador debido a su propia resistencia óhmica. Por ello, la FEM de un generador siempre coincide con la diferencia de potencial en sus bornes cuando el circuito está abierto (es decir, cuando no circula corriente, I=0).

FEM Inducida (Ley de Faraday)

La fuerza electromotriz de inducción (o inducida) en un circuito cerrado es igual a la tasa de cambio del flujo magnético que lo atraviesa. Esto se expresa matemáticamente por la Ley de Faraday:

El signo negativo en la fórmula corresponde a la Ley de Lenz, que indica que el sentido de la FEM inducida es tal que se opone a la variación del flujo magnético que la produce.

Nota: La fórmula de la resistividad, , relaciona la resistencia (R) de un material con sus dimensiones geométricas (longitud L y área A).