Conceptos Clave de Ecuaciones, Inecuaciones y Funciones Matemáticas

Conceptos Fundamentales de Ecuaciones, Inecuaciones y Funciones

Ecuaciones

Ecuaciones de Segundo Grado Incompletas

• Cuando falta 'c' (ax² + bx = 0): Se saca factor común 'x', se despeja 'x' y se iguala cada uno de los factores a 0.
• Cuando falta 'b' (ax² + c = 0): Se despeja x² y se saca la raíz cuadrada (considerando ambas soluciones, positiva y negativa).

Ecuaciones de Grado Superior a 2

Incluye, por ejemplo, las Ecuaciones Bicuadradas (ax⁴ + bx² + c = 0). Se resuelven mediante un cambio de variable, donde x² = Z, transformándolas en una ecuación de segundo grado (aZ² + bZ + c = 0) que se resuelve con la fórmula general.

Ecuaciones Irracionales

Pasos para su resolución:

1. Se transportan los términos, dejando la raíz en un miembro y el resto en el otro.
2. Se reducen los términos semejantes.
3. Se elevan al cuadrado ambos miembros de la ecuación para eliminar la raíz.
4. Se resuelve la ecuación obtenida.
5. Importante: Se deben comprobar las soluciones en la ecuación original, ya que elevar al cuadrado puede introducir soluciones extrañas.

Sistemas de Ecuaciones

Métodos de resolución:

• Sustitución:
  1. Se despeja una incógnita de una de las ecuaciones.
  2. Se sustituye la expresión obtenida en la otra ecuación.
  3. Se resuelve la ecuación resultante.
  4. Se sustituye el valor encontrado en la expresión despejada para obtener la otra incógnita.
• Igualación:
  1. Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.
  2. Se igualan las expresiones obtenidas.
  3. Se resuelve la ecuación resultante.
  4. Se sustituye el valor encontrado en cualquiera de las expresiones despejadas.
• Reducción:
  1. Se multiplican una o ambas ecuaciones por un número para que una de las incógnitas tenga coeficientes opuestos.
  2. Se suman los miembros de ambas ecuaciones y se despeja la incógnita resultante.
  3. Se sustituye el valor encontrado en una de las ecuaciones originales para obtener la otra incógnita.

Inecuaciones

Inecuaciones Equivalentes

Para que dos inecuaciones sean equivalentes, se pueden realizar las siguientes operaciones sin alterar su conjunto solución:

• Sumar o restar un mismo número o expresión algebraica a ambos lados de la inecuación.
• Multiplicar o dividir por un número positivo.
• Multiplicar o dividir por un número negativo, cambiando el sentido del signo de la inecuación (por ejemplo, de < a >).

Inecuaciones de Primer Grado: Interpretación Gráfica y Resolución

Pasos para resolver inecuaciones de primer grado:

1. Eliminar paréntesis.
2. Suprimir denominadores (utilizando el mínimo común múltiplo, m.c.m.).
3. Transponer los términos (agrupar incógnitas a un lado y constantes al otro).
4. Reducir términos semejantes.
5. Despejar la incógnita.

Inecuaciones de Segundo Grado

Pasos para resolver inecuaciones de segundo grado (ax² + bx + c > 0, < 0, ≥ 0, ≤ 0):

1. Obtener las soluciones (raíces) de la ecuación de segundo grado correspondiente (ax² + bx + c = 0).
2. Estudiar el signo del polinomio de la inecuación con un valor de prueba en cada uno de los intervalos definidos por las raíces.
3. La solución son los intervalos que cumplen la condición de la inecuación.

Temas 6 y 7: Características de las Funciones

Elementos clave para el estudio y representación de funciones:

1. Puntos de Corte con los Ejes:
   • Eje X: Se hace y = 0 y se resuelve la ecuación para encontrar los valores de x.
   • Eje Y: Se hace x = 0 y se calcula el valor de y.
2. Simetría:
   • Par: La función es simétrica respecto al eje Y si f(-x) = f(x).
   • Impar: La función es simétrica respecto al origen si f(-x) = -f(x).
3. Periodicidad: La función es periódica si su gráfica se repite cada cierto intervalo (periodo).
4. Crecimiento y Decrecimiento:
   • Creciente: Cuando al aumentar el valor de 'x', el valor de 'y' también aumenta.
   • Decreciente: Cuando al aumentar el valor de 'x', el valor de 'y' disminuye.
5. Máximos y Mínimos:
   • Máximo Absoluto: El valor más alto que alcanza la función en todo su dominio.
   • Mínimo Absoluto: El valor más bajo que alcanza la función en todo su dominio.
   • Máximo Relativo: Un punto donde la función pasa de ser creciente a decreciente.
   • Mínimo Relativo: Un punto donde la función pasa de ser decreciente a creciente.
6. Tasa de Variación Media (TVM):

   La TVM en un intervalo [a, b] se calcula como: TVM[a,b] = (f(b) - f(a)) / (b - a).

7. Continuidad y Discontinuidad:

   Una función es continua si su gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel. Es discontinua en puntos donde hay saltos, agujeros o asíntotas.