Conceptos clave de continuidad, derivadas e integrales en cálculo

Notación asintótica

Diremos que f(x) es o pequeña de g(x) (f = o(g)) en b si

lim_x→b f(x)/g(x) = 0.

Diremos que f(x) es O grande de g(x) (f = O(g)) en b si existen constantes k, δ > 0 tales que

|f(x)| ≤ k |g(x)|, ∀ x ∈ E\*(b, δ).

Continuidad en un punto

Sea f : A → ℝ. Diremos que f es continua en un punto b si, o bien b es un punto aislado del dominio (es decir, un punto del dominio que no es de acumulación), o bien b es un punto de acumulación y se cumplen las tres condiciones siguientes:

• b ∈ A
• Existe el límite lim_x→b f(x)
• El límite coincide con el valor: lim_x→b f(x) = f(b)

Teoremas sobre valores extremos y ceros

Teorema de Weierstrass

(Weierstrass) Sea f : [a, b] → ℝ continua. Entonces existen p y q en [a, b] tales que

∀ x ∈ [a, b], f(q) ≤ f(x) ≤ f(p).

Teorema de Bolzano

(Bolzano) Sea f : [a, b] → ℝ continua tal que f(a) f(b) < 0. Entonces

∃ c ∈ (a, b) tal que f(c) = 0.

Teorema de Rolle

(Rolle) Sea f : [a, b] → ℝ continua en [a, b] y derivable en (a, b) con f(a) = f(b). Entonces existe c ∈ (a, b) tal que f'(c) = 0.

Demostración (esbozo)

Por el teorema de Weierstrass, f tiene en [a,b] máximo y mínimo absolutos.

• Si ambos se encuentran en los extremos, f(x) toma un valor constante por coincidir máximo y mínimo (caso imagen (A)).
• Si algún máximo o mínimo se halla en un punto interior al intervalo, tal máximo o mínimo es, además de absoluto, relativo; luego f'(c) = 0 (caso imagen (B)).

Teorema de Lagrange

(Lagrange) Sea f : [a, b] → ℝ continua en [a, b] y derivable en (a, b). Entonces existe c ∈ (a, b) tal que

(f(b) − f(a)) / (b − a) = f'(c).

Demostración

Definimos una función auxiliar g(x) como:

g(x) = f(x) − f(a) − k(x − a).

Características de la función:

• g'(x) = f'(x) − k.
• Si x = a entonces g(a) = f(a) − f(a) − k(a − a) = 0.
• Determinamos k imponiendo g(b) = 0:

g(b) = f(b) − f(a) − k(b − a) = 0

Despejando k, obtenemos

k = (f(b) − f(a)) / (b − a).

Tenemos una función g(x) que cumple:

• g es continua en [a,b].
• g es derivable en (a,b).
• g(a) = g(b) = 0 (por la elección de k).

Aplicando Rolle a g, existe c ∈ (a,b) tal que g'(c) = 0, es decir,

f'(c) − k = 0 ⇒ f'(c) = k = (f(b) − f(a)) / (b − a).

Convexidad y concavidad

Sea f : (a, b) → ℝ derivable en (a, b). Diremos que f es convexa (resp. cóncava) en (a, b) si la recta tangente a la gráfica en cualquier punto del intervalo se mantiene por debajo (resp. por encima) de ésta en todo el intervalo.

Teorema 7.8

Sea f : (a, b) → ℝ derivable en (a, b). Entonces son equivalentes:

• a) f es convexa (resp. cóncava) en (a, b).
• b) f' es creciente (resp. decreciente) en (a, b).

Teorema 7.9

Sea f : (a, b) → ℝ derivable dos veces en (a, b). Entonces son equivalentes:

• a) f es convexa (resp. cóncava) en (a, b).
• b) f''(x) ≥ 0 (resp. f''(x) ≤ 0) para todo x ∈ (a, b).

Monotonía y derivada

Sea f : (a, b) → ℝ derivable en (a, b). Entonces son equivalentes:

• a) f'(x) ≥ 0 (resp. f'(x) ≤ 0) para todo x ∈ (a, b).
• b) f es creciente (resp. decreciente) en (a, b).

Regla de Barrow (Teorema fundamental del cálculo)

Regla de Barrow Sea f : [a, b] → ℝ continua y G una primitiva de f en [a, b]. Entonces

∫_a^b f(x) dx = G(b) − G(a).

Demostración

Sea F(x) = ∫_a^x f(t) dt para todo x ∈ [a, b]. Como G y F son primitivas de f en [a, b], se diferencian en una constante, es decir,

F(x) = G(x) + C, ∀ x ∈ [a, b].

En particular,

F(a) = G(a) + C ⇒ C = F(a) − G(a) = −G(a)

y

F(b) = G(b) + C ⇒ ∫_a^b f(t) dt = G(b) + C = G(b) − G(a).

Rango de una matriz

Llamaremos rango de una matriz A ∈ M_m×n (rg(A)) al número de filas no nulas de una cualquiera de las formas escalonadas que pueden obtenerse a partir de ella mediante operaciones elementales.