Conceptos Clave de Álgebra: Sistemas de Ecuaciones, Funciones Cuadráticas y Desigualdades

Sistemas de Inecuaciones Lineales

Un sistema de inecuaciones lineales es un conjunto de dos o más inecuaciones lineales con una o más variables. La solución de un sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas son los puntos de la región del plano limitado por las rectas asociadas a cada inecuación.

Función Cuadrática y Ecuaciones de Segundo Grado

Función Cuadrática

Una función cuadrática tiene la forma $f(x) = ax^2 + bx + c$, donde $a, b, c$ pertenecen a los números reales y $a$ es distinto de 0. La gráfica de una función cuadrática es una parábola.

Casos de la Función Cuadrática $y = ax^2 + bx + c$

Según los valores de $a, b, c$ en la expresión, hay 4 casos que se deben tener en cuenta:

1. CASO 1: $f(x) = ax^2$ (donde $b = 0$ y $c = 0$).

   En este caso, las parábolas tienen como vértice el punto $(0, 0)$ y como eje de simetría el eje Y.

2. CASO 2: $f(x) = ax^2 + c$ (donde $b = 0$).

   La gráfica de la función $f(x) = ax^2 + c$ se obtiene trasladando $c$ unidades a la gráfica $f(x) = x^2$. Si $c > 0$, la traslación es hacia arriba.

3. CASO 3: $f(x) = ax^2 + bx$ (donde $c = 0$).

   En este caso, las coordenadas del vértice $(h, k)$ se pueden hallar por medio de las expresiones: $h = -b/(2a)$ y $k = f(-b/(2a))$.

4. CASO 4: $f(x) = ax^2 + bx + c$.

   En este caso, la gráfica se obtiene trasladando $c$ unidades a la gráfica de la función $ax^2 + bx + c$.

Discriminante de la Ecuación Cuadrática

La expresión $b^2 - 4ac$ recibe el nombre de discriminante. Es el valor que determina el tipo de raíces de la ecuación de segundo grado $ax^2 + bx + c = 0$, con $a, b, c$ números reales.

Suma y Producto de las Soluciones (Fórmulas de Vieta)

Si $x_1$ y $x_2$ son soluciones de la ecuación de segundo grado $ax^2 + bx + c = 0$, se cumplen las siguientes propiedades:

• Suma de soluciones: $x_1 + x_2 = -b/a$
• Producto de soluciones: $x_1 \cdot x_2 = c/a$

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto formado por dos o más ecuaciones lineales, cada una de ellas con dos o más incógnitas.

Métodos de Resolución de Sistemas Lineales

Método Gráfico

Consiste en representar gráficamente las rectas que corresponden a las ecuaciones que forman el sistema.

Método de Sustitución

Para resolverlo, se realizan los siguientes pasos:

1. Se despeja una de las variables en cualquiera de las ecuaciones.
2. Se reemplaza la expresión obtenida en el primer paso en la ecuación no despejada y se resuelve.
3. Se encuentra el valor de la otra variable reemplazando en cualquiera de las ecuaciones originales.

Método de Igualación

1. Primero: Se despeja la misma variable en las dos ecuaciones dadas.
2. Segundo: Se igualan las expresiones obtenidas en el primer paso.
3. Tercero: Se determina el valor de la otra variable reemplazando en alguna de las ecuaciones.
4. Cuarto: Se verifican las soluciones.

Regla de Cramer

Es posible resolver un sistema de álgebra lineal utilizando determinantes mediante un método llamado Regla de Cramer.

Desigualdades y sus Propiedades

Definición de Desigualdad

Una desigualdad se produce cuando dos expresiones algebraicas son diferentes. Por este motivo, están ligadas por los signos de relación: mayor que ($>$), menor que ($<$), mayor o igual que ($\geq$), menor o igual que ($\leq$), etc.

Propiedades de las Desigualdades

Sean $a, b, c$ números reales:

• Propiedad Transitiva: Si $a > b$ y $b > c$, entonces $a > c$.
• Suma y Resta: Si $a > b$, entonces $a + c > b + c$ o $a - c > b - c$.
• Multiplicación o División por un Positivo ($c > 0$): Si $a > b$ y $c > 0$, entonces $a \cdot c > b \cdot c$ o $a/c > b/c$.
• Multiplicación o División por un Negativo ($c < 0$): Si $a > b$ y $c < 0$, entonces $a \cdot c < b \cdot c$ o $a/c < b/c$. (La desigualdad cambia de sentido).

Criterios de Equivalencia en Inecuaciones

1. Si a los dos miembros de una desigualdad se les suma o resta un mismo número, la inecuación resultante es equivalente a la desigualdad dada inicialmente.
2. Si a los dos miembros de una desigualdad se les multiplica o divide por un mismo número positivo, la inecuación resultante es equivalente a la desigualdad dada inicialmente.
3. Si a los dos miembros de una desigualdad se les multiplica o divide por un mismo número negativo, la inecuación resultante cambia de sentido y es equivalente a la desigualdad dada inicialmente.