Conceptos Clave del Álgebra Lineal: Vectores, Espacios y Transformaciones

Aplicaciones (Funciones)

Una función f: A → B es una aplicación cuando todo elemento del conjunto inicial A (dominio) tiene una única imagen en el conjunto final B (codominio).

Dos tipos importantes de aplicaciones son:

• Inyectiva: Una aplicación f es inyectiva si a elementos distintos del dominio les corresponden imágenes distintas en el codominio. Es decir, si f(x₁) = f(x₂), entonces x₁ = x₂.
• Suprayectiva (o Sobreyectiva): Una aplicación f es suprayectiva si todo elemento del codominio es imagen de al menos un elemento del dominio. Es decir, para todo y ∈ B, existe al menos un x ∈ A tal que f(x) = y.

Espacios Vectoriales

Definición de Espacio Vectorial

Sea V un conjunto no vacío, K un cuerpo (como el de los números reales ℝ o los complejos ℂ), "+" una ley de composición interna en V (suma de vectores), y "·" una ley de composición externa (producto por escalar) que relaciona K y V. Se dice que (V, +, ·) es un espacio vectorial sobre K si se cumplen las siguientes propiedades axiomáticas:

• Propiedades de la suma de vectores (ley de composición interna): Asociatividad, conmutatividad, existencia de elemento neutro (vector nulo 0), existencia de elemento opuesto (para cada vector v, existe -v).
• Propiedades del producto por escalar (ley de composición externa): Distributividad respecto a la suma de escalares, distributividad respecto a la suma de vectores, asociatividad mixta, y existencia de elemento neutro para el producto por escalar (1·v = v).

Subespacio Vectorial

Sea (V, +, ·) un espacio vectorial sobre K, y S un subconjunto no vacío de V (S ⊆ V, S ≠ ∅). Se dice que S es un subespacio vectorial de V si S, con las mismas operaciones "+" y "·" definidas en V, es por sí mismo un espacio vectorial sobre K. Para verificarlo, basta con comprobar que S es cerrado bajo ambas operaciones:

• Para todo x, y ∈ S, la suma x + y ∈ S.
• Para todo x ∈ S y todo escalar λ ∈ K, el producto λ·x ∈ S.

Combinación Lineal

Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K, y consideremos un conjunto de vectores {u₁, u₂, ..., uₙ} ⊆ V. Un vector x ∈ V es una combinación lineal de los vectores {u₁, u₂, ..., uₙ} si existen escalares α₁, α₂, ..., αₙ ∈ K tales que:

x = α₁u₁ + α₂u₂ + ... + αₙuₙ = Σᵢ αᵢuᵢ

Dependencia e Independencia Lineal (Sistemas Libres y Ligados)

Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K y F = {u₁, u₂, ..., uₙ} un conjunto de vectores de V.

• El conjunto F es linealmente independiente (o libre) si la única solución de la ecuación vectorial λ₁u₁ + λ₂u₂ + ... + λₙuₙ = 0 (donde 0 es el vector nulo) es aquella en la que todos los escalares son cero (λ₁ = λ₂ = ... = λₙ = 0).
• El conjunto F es linealmente dependiente (o ligado) si existen escalares λ₁, λ₂, ..., λₙ, no todos nulos, tales que λ₁u₁ + λ₂u₂ + ... + λₙuₙ = 0. Esto implica que al menos un vector del conjunto puede expresarse como combinación lineal de los demás.

Sistema Generador

Sea V un espacio vectorial sobre K y S = {u₁, u₂, ..., uₙ} un conjunto de vectores de V. Se dice que S es un sistema generador de V (o que S genera V) si todo vector de V se puede expresar como combinación lineal de los vectores en S. El subespacio generado por S, denotado como gen(S) o , es el conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores de S.

Base y Dimensión

Sea V un espacio vectorial sobre K. Un conjunto ordenado de vectores B = {b₁, b₂, ..., bₙ} ⊆ V es una base de V si cumple dos condiciones:

1. B es un sistema linealmente independiente.
2. B es un sistema generador de V.

La dimensión de un espacio vectorial V, denotada como dim(V), es el número de vectores en cualquiera de sus bases. Si un espacio vectorial no tiene una base finita, se dice que es de dimensión infinita.

Coordenadas de un Vector

Dado un espacio vectorial V con una base ordenada B = {b₁, b₂, ..., bₙ}, cualquier vector v ∈ V se puede expresar de forma única como una combinación lineal de los vectores de la base: v = α₁b₁ + α₂b₂ + ... + αₙbₙ. Los escalares (α₁, α₂, ..., αₙ) son las coordenadas del vector v respecto a la base B.

Conceptos relacionados:

• Vector de coordenadas: Es el vector formado por estas coordenadas, usualmente representado como una columna [α₁, α₂, ..., αₙ]^T.
• Cambio de base: Si se tienen dos bases distintas para el mismo espacio vectorial, es posible calcular las coordenadas de un vector en una base a partir de sus coordenadas en la otra. Este proceso involucra una matriz de cambio de base.

Determinantes

Sea A una matriz cuadrada (mismo número de filas que de columnas). El determinante de A, denotado como det(A) o |A|, es un escalar asociado a la matriz que proporciona información importante sobre ella (por ejemplo, si es invertible).

Algunas propiedades básicas de los determinantes:

• Si una matriz tiene una fila o una columna completamente nula (todos sus elementos son cero), su determinante es 0.
• Si una matriz tiene dos filas o dos columnas iguales o proporcionales, su determinante es 0.
• Si una fila (o columna) de una matriz es combinación lineal de otras filas (o columnas) paralelas, su determinante es 0.
• det(A^T) = det(A), donde A^T es la transpuesta de A.
• det(AB) = det(A)det(B) para matrices cuadradas A y B del mismo tamaño.
• Una matriz cuadrada A es invertible si y solo si det(A) ≠ 0.

Aplicaciones Lineales (Transformaciones Lineales)

Definición de Aplicación Lineal

Sean V y V' dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo K. Una función f: V → V' es una aplicación lineal (o transformación lineal) si cumple las siguientes dos condiciones para todos los vectores x, y ∈ V y todo escalar α ∈ K:

1. f(x + y) = f(x) + f(y) (Aditividad: la imagen de una suma es la suma de las imágenes).
2. f(αx) = αf(x) (Homogeneidad: la imagen de un producto por escalar es el escalar por la imagen).

Núcleo (Kernel) e Imagen

Núcleo (Kernel)

Dada una aplicación lineal f: V → V', el núcleo (o kernel) de f, denotado como Ker(f) o Nuc(f), es el subconjunto de V formado por todos los vectores cuya imagen es el vector nulo de V':

Ker(f) = {x ∈ V | f(x) = 0_V'}

El Ker(f) es un subespacio vectorial de V.

Imagen

Dada una aplicación lineal f: V → V', la imagen de f, denotada como Im(f) o Img(f), es el subconjunto de V' formado por todos los vectores que son imagen de algún vector de V:

Im(f) = {y ∈ V' | existe x ∈ V tal que f(x) = y}

La Im(f) es un subespacio vectorial de V'.

Teorema de la Dimensión (Rango-Nulidad) y Propiedades de Inyectividad/Suprayectividad

• Teorema de la Dimensión (o Rango-Nulidad): Para una aplicación lineal f: V → V' (con V de dimensión finita), se cumple que: dim(V) = dim(Ker(f)) + dim(Im(f)). La dim(Ker(f)) se llama nulidad y dim(Im(f)) se llama rango de la aplicación lineal.
• Una aplicación lineal f es inyectiva si y sólo si Ker(f) = {0_V} (es decir, dim(Ker(f)) = 0).
• Una aplicación lineal f es suprayectiva si y sólo si Im(f) = V' (es decir, dim(Im(f)) = dim(V')).
• Una aplicación lineal es biyectiva si es tanto inyectiva como suprayectiva. Si f es biyectiva, se denomina isomorfismo, y los espacios V y V' se dicen isomorfos.

Rango de una Matriz

El rango de una matriz A (m × n), denotado como rg(A), rank(A) o rango(A), es un número entero que indica la "cantidad de información linealmente independiente" contenida en la matriz. Tiene varias definiciones equivalentes:

• El número máximo de filas linealmente independientes de A.
• El número máximo de columnas linealmente independientes de A.
• La dimensión del espacio vectorial generado por las filas de A (espacio fila).
• La dimensión del espacio vectorial generado por las columnas de A (espacio columna).
• El orden (tamaño) del mayor menor (subdeterminante cuadrado) no nulo de la matriz A.

El rango de una matriz coincide con el rango de la aplicación lineal que representa.

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas se puede representar matricialmente como Ax = b, donde A es la matriz de coeficientes (m × n), x es el vector de incógnitas (n × 1), y b es el vector de términos independientes (m × 1).

Clasificación y Resolución (Teorema de Rouché-Frobenius)

El Teorema de Rouché-Frobenius permite clasificar el sistema según los rangos de la matriz de coeficientes (A) y la matriz ampliada (A* o A|b), que es A con la columna b añadida.

Sistemas No Homogéneos (b ≠ 0)

• Si rg(A) = rg(A*) = n (número de incógnitas): Sistema Compatible Determinado (SCD). Tiene una solución única.
• Si rg(A) = rg(A*) < n: Sistema Compatible Indeterminado (SCI). Tiene infinitas soluciones. El número de parámetros libres es n - rg(A).
• Si rg(A) ≠ rg(A*): Sistema Incompatible (SI). No tiene solución.

Sistemas Homogéneos (b = 0)

Un sistema homogéneo (Ax = 0) siempre es compatible, ya que al menos admite la solución trivial (x = 0).

• Si rg(A) = n (número de incógnitas): Sistema Compatible Determinado (SCD). La única solución es la trivial (x = 0).
• Si rg(A) < n: Sistema Compatible Indeterminado (SCI). Tiene infinitas soluciones (además de la trivial). El espacio de soluciones es el núcleo de la transformación lineal asociada a A, Ker(A), y su dimensión es n - rg(A).

Espacios Vectoriales Euclídeos

Un espacio vectorial euclídeo es un espacio vectorial real de dimensión finita dotado de un producto escalar.

Producto Escalar

Un producto escalar (o producto interno) en un espacio vectorial real V es una función <·, ·>: V × V → ℝ que asigna a cada par de vectores x, y ∈ V un número real <x, y>, cumpliendo las propiedades de bilinealidad, simetría y definición positiva.

Norma de un Vector

En un espacio vectorial con producto escalar, la norma de un vector x, denotada como ||x||, se define a partir del producto escalar como la raíz cuadrada del producto escalar del vector consigo mismo:

||x|| = √<x, x>

La norma representa la "longitud" o "magnitud" del vector.

Propiedades de la Norma (inducida por un producto escalar):

• ||x|| ≥ 0, y ||x|| = 0 si y solo si x = 0 (Definición positiva).
• ||αx|| = |α| ||x|| para todo escalar α ∈ ℝ y todo x ∈ V (Homogeneidad absoluta).
• ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| para todo x, y ∈ V (Desigualdad triangular o de Minkowski).

Una desigualdad fundamental relacionada es la Desigualdad de Cauchy-Schwarz: |<x, y>| ≤ ||x|| ||y||.

Bases Ortogonales y Ortonormales

Dos vectores x, y son ortogonales si su producto escalar es cero: <x, y> = 0.

Una base B = {e₁, e₂, ..., eₙ} de un espacio vectorial euclídeo es:

• Ortogonal: Si todos sus vectores son ortogonales dos a dos, es decir, <eᵢ, eⱼ> = 0 para todo i ≠ j.
• Ortonormal: Si es una base ortogonal y, además, todos sus vectores son unitarios (tienen norma 1), es decir, ||eᵢ|| = 1 para todo i. Esto implica que <eᵢ, eⱼ> = δ_ij (donde δ_ij es la delta de Kronecker: 1 si i=j, 0 si i≠j).

Las bases ortonormales simplifican muchos cálculos, como la obtención de coordenadas.