Conceptos Clave de Álgebra Lineal y Cálculo Diferencial

Subespacio Vectorial

Sea H un subconjunto de E, lo que significa que está contenido o es igual a E. Decimos que H es subespacio vectorial de E si y solo si:

• Tiene el elemento 0.
• Tiene que cumplir simultáneamente:
  • Para cualesquiera 2 vectores v1 y v2 pertenecientes a H, v1+v2 también tiene que pertenecer a H.
  • Para cualquier vector v1 perteneciente a H y para cualquier número real k, kv1 tiene que pertenecer a H.

Ejemplos de lo que NO son subespacios vectoriales:

• Números sueltos, potencias.
• Teniendo vector u=(x,y), no es subespacio vectorial xy+x=0 (producto de 2 coordenadas).
• Logaritmos, etc. (cosas raras).

Ejemplos de lo que SÍ son subespacios vectoriales:

• ax+by+cz=0
• c1x + c2y = 0

Núcleo e Imagen de una Aplicación Lineal

Sea una aplicación lineal f : E → EL.

Llamamos núcleo de una aplicación lineal f, kr(f), al conjunto formado por todos los vectores de E cuya imagen a través de f sea el neutro de EL. Es decir, todos los vectores de E, cuya imagen en EL sea 0. El conjunto kr(f) es un subespacio vectorial de E.

Llamamos imagen de una aplicación lineal f, im(f), al conjunto formado por todos los vectores de EL que son imagen de algún elemento de E. El conjunto im(f) es un subespacio vectorial de EL. La dimensión del subespacio imagen coincide con el rango de la matriz asociada a f:

dim(im(f)) = rg(m(f))

Teoremas y Propiedades:

• f es inyectiva ↔ kr(f) = {0}
• f es sobreyectiva ↔ rg(m(f)) = dim(EL)
• Muy importante: dim(kr(f)) + dim(im(f)) = dim(E)
• Si E = EL y f es inyectiva → f es biyectiva
• Si E = EL y f es sobreyectiva → f es biyectiva

Autovalores o Valores Propios y Autovectores o Vectores Propios

Se dice que λ (número real) es un valor propio de la matriz A si existe algún vector x no nulo de E tal que:

Ax = λx

Si λ es valor propio de A entonces los vectores no nulos de E que verifican la anterior relación se denominan vectores propios de A asociados a λ.

Cada vector propio está asociado a un único valor propio. Sin embargo, cada valor propio tiene asociados uno o más vectores propios.

Forma Cuadrática

Se llama forma cuadrática real Q en el espacio vectorial Rn a la siguiente aplicación:

Q: Rn → R

x → Q(x) = λ (es un número real)

que verifica la propiedad Q(λx) = λ²Q(x), para cualquier x de Rn y cualquier λ (número real).

También hay que tener en cuenta que Q(0) = 0.

Clasificación de formas cuadráticas:

• Definida positiva (D.P.): Si Q(x) > 0 para x ≠ 0.
• Semidefinida positiva (S.D.P.): Si Q(x) ≥ 0 para todo x.
• Definida negativa (D.N.): Si Q(x) < 0 para x ≠ 0.
• Semidefinida negativa (S.D.N.): Si Q(x) ≤ 0 para todo x.
• Indefinida: Si no tiene signo definido, es decir, si existen x1, x2 tales que Q(x1) > 0 y Q(x2) < 0 (Si no es ninguno de los 4 casos anteriores).

Curvas de Nivel

Una curva de nivel son todos los puntos donde la función tiene el mismo valor. Es decir, teniendo una f(x,y), la igualas a un valor real k, y despejas y en función de x, y lo representas.

Continuidad

Para f(x):

f(x) es continua en a cuando el límite por la izquierda y por la derecha coinciden con la imagen de a.

Para f(x,y):

f(x,y) es continua en el punto (x0, y0) si el límite de f(x,y) cuando (x,y) → (x0,y0) coincide con la imagen de (x0,y0).

Propiedades de la continuidad:

• Todas las funciones elementales (polinomios, seno, coseno, exponencial, logaritmo...) son funciones continuas en todo su dominio.
• Las funciones elementales relacionadas mediante suma, resta, multiplicación o división, dan como resultado una función continua (en su dominio).