Conceptos Básicos de Geometría: Fórmulas, Propiedades y Didáctica

Fórmulas de Áreas y Volúmenes

Volúmenes

• Ortoedro: largo x ancho x altura (l.a.h)
• Paralelepípedo recto: área de la base x altura (s.h)
• Cubo: lado al cubo (l³)
• Prisma recto: área de la base x altura (a_b.h)
• Prisma: área de la base x altura (s.h)
• Cilindro: π.radio al cuadrado x altura (π.r².h)
• Pirámide: 1/3 x área de la base x altura (1/3.s.h)
• Cono: π.radio al cuadrado x altura / 3 (π.r².h/3)
• Esfera: 4π.radio al cubo / 3 (4π.r³/3)

Áreas

• Círculo: π.radio al cuadrado (π.r²)
• Polígono regular: (número de lados x base x altura) / 2 (n.b.h/2)
• Triángulo: (base x altura) / 2 (b.h/2)
• Esfera: 4π.radio al cuadrado (4π.r²)
• Cubo: 6 x arista al cuadrado (6.a²)
• Ortoedro: perímetro de la base x altura + 2 x área de la base (p.h+2ab)
• Cilindro: 2π.radio x altura + 2π.radio al cuadrado (2π.r.h+2π.r²)

Sólidos Geométricos

Los sólidos geométricos tienen 3 dimensiones: largo, ancho y profundidad.

Poliedros

Son cuerpos geométricos limitados por polígonos que son las caras del poliedro. Los lados y vértices de las caras reciben el nombre de aristas y vértices del poliedro.

Ángulos:

• Diedros: Formados por 2 caras consecutivas.
• Triedro: Formados por 3 caras en un vértice.
• Poliedro: Formados por un número finito de caras con un vértice común.

Partes del Poliedro

• Caras: Cada polígono que limita al poliedro.
• Aristas: Cada segmento generado por la intersección de las caras.
• Vértices: Punto de intersección de dos aristas.
• Ángulo diedro: Ángulo formado por dos caras con una arista común.
• Ángulo poliedro: Ángulo formado por varias caras con un vértice común.
• Diagonal: Es todo segmento que une dos vértices no situados en la misma cara.

Teorema de Euler

En todos los poliedros convexos se verifica siempre: C + V = A + 2, donde C es el número de caras, V el número de vértices y A el número de aristas.

Tipos de Poliedros

Prisma

Están limitados por dos caras iguales llamadas bases y diversas caras laterales que son paralelogramos. Su altura es el segmento perpendicular entre las dos bases. Se nombran según el polígono de la base. Los prismas regulares son los que tienen por base un polígono regular.

• Prisma recto: Posee aristas laterales perpendiculares a la base.
• Prisma oblicuo: Aristas laterales no perpendiculares a la base.
• Antiprisma: Bases iguales, pero caras laterales triangulares.

Paralelepípedos

Prisma cuya base es un paralelogramo. Todas sus 6 caras son paralelogramos.

• Ortoedro: Bases rectangulares.
• Romboedro: 6 caras rómbicas.
• Cubo: 6 caras cuadradas.

Pirámide

Cuerpo limitado por una superficie piramidal y un plano que la corta. Todas sus caras, menos una, tienen un vértice común.

Cuerpos Redondos

Cilindro

Es la parte de la región cilíndrica comprendida entre dos planos paralelos. Es el cuerpo de revolución engendrado por un rectángulo al girar sobre un lado.

Cono

Cuerpo de revolución engendrado por un triángulo rectángulo al girar sobre uno de sus catetos.

Tronco de Cono

Es la parte comprendida entre la base de la pirámide y un plano que la corta.

Esfera

Cuerpo geométrico engendrado por un semicírculo al girar alrededor de su diámetro.

• Huso esférico: Es la parte comprendida entre las caras de un diedro cuya arista contiene al diámetro.

Orientación Espacial en el Currículo Escolar

1º y 2º de Primaria

Comprender y describir situaciones de la vida cotidiana. Interpretación y descripción de croquis de itinerarios, planos, maquetas y su elaboración. Los niños utilizan conceptos de izquierda-derecha, delante-detrás, arriba-abajo, cerca-lejos. Se pretende evaluar las capacidades de orientación y representación espacial teniendo en cuenta el lenguaje geométrico y la representación en el plano.

3º de Primaria

Introducción a planos y maquetas. Descripción de las posiciones y movimientos en un contexto topográfico. Iniciación al manejo de escalas. Obtener información puntual y describir una representación espacial.

4º de Primaria

Comprender y describir situaciones de la vida cotidiana usando planos y maquetas. Descripción de las posiciones relativas y los movimientos en un contexto topográfico. Iniciación en el manejo de escalas. Describir una representación espacial usando objetos familiares.

5º y 6º de Primaria

Manejar espacios, planos y maquetas. Se introduce el sistema de coordenadas cartesianas. Representación elemental del espacio a escalas y gráficos sencillos. Interpretar una representación espacial usando objetos familiares.

Semejanza

Las transformaciones involucradas son: traslaciones, simetrías, giros y homotecias. El factor en el que varían las dimensiones lineales se llama razón de semejanza. Dos figuras son semejantes si tienen la misma forma, aunque tengan distinto tamaño. Dos triángulos son semejantes si tienen sus ángulos iguales y los lados correspondientes proporcionales.

El Dibujo en Geometría

Sirve para poder representar conceptos, croquis, etc. de manera informal. Importancia de los instrumentos de dibujo para resolver problemas. Pueden hacer que los alumnos intuyan y comprendan algunas ideas geométricas. Los dibujos no son flexibles o modificables de una forma dinámica, salvo los de programas de ordenador.

Rutas Matemáticas

Dan significado a aspectos como la visualización, construcción, dibujo y medida, trabajando la geometría fuera del aula. Revisan en contextos no matemáticos ideas geométricas. Se da la oportunidad para el desarrollo del pensamiento espacial del alumno, su creatividad y el pensamiento divergente.

Errores en el Aprendizaje de la Geometría

Hay 3 formas de representar proposiciones matemáticas:

• Representación verbal: Descripción de un objeto o enunciado matemático expresado en palabras.
• Representación gráfica: Imagen de uno o más conceptos y relaciones que se plantean entre ellos en una proposición matemática.
• Representación simbólica: Descripción de un objeto o enunciado matemático expresado solo en símbolos matemáticos.

Los errores son la consecuencia de procesos definidos cuya naturaleza debe ser descubierta.

Planificación Exitosa

Realizar un diagnóstico de los errores cometidos, investigar sobre modelos de errores y causas de los mismos. La mayor parte de los errores no son accidentales, sino derivados de un proceso que tiene sentido para el alumno.

Errores en el Aprendizaje de un Concepto

Podemos distinguir entre concepto, imagen del concepto y definición del concepto. Un aprendizaje correcto lleva a la identificación de estos tres objetos.

Errores en la Simbología Visual del Concepto

Niños entre 5-10 años asocian paralelismo con la igualdad de segmentos y perpendicularidad con la horizontalidad de uno de los segmentos. Es importante para la correcta definición y comprensión, la vinculación de ellos con distintas configuraciones y relación de una recta (segmento) con otra.

Errores en las Clasificaciones

La clasificación de las formas planas se plantea en primaria, pero se arrastra hasta la universidad. Hay dos formas de clasificar:

• Partición: Niveles 1 y 2 de Van Hiele.
• Inclusión: Nivel 3 de Van Hiele.

Errores en el Aprendizaje de las Definiciones

Los maestros y libros de texto presentan los conceptos de geometría de dos formas: mediante el enunciado de la definición, ejercicios de memorización y conocimientos de figuras; o presentando ejemplos de figuras para definirlas y memorizar la definición.

Los profesores suelen poner más énfasis en las definiciones que en los ejemplos.

Los ejemplos impactan más en los estudiantes y provocan un efecto más duradero y profundo.

Cuando leemos o escuchamos un concepto no se evoca la definición del concepto, sino la imagen. La imagen de un concepto es correcta cuando se discriminan sin errores todos los ejemplos de ese concepto. La definición del concepto es inactiva o no existente.

Estructuras en la Definición de Magnitud

Las estructuras son: relación de equivalencia, estructura algebraica cuyo modelo es la suma de números naturales, relación de orden compatible con la estructura algebraica, proporcionalidad.

Medida del Tiempo

1º y 2º de Primaria

• Unidades de medida del tiempo: el tiempo cíclico y intervalos del tiempo.
• Reconocimiento de distintos tipos de relojes.
• Selección y utilización de la unidad apropiada para determinar un intervalo de tiempo.

3º y 4º de Primaria

• Conocimiento y uso de las medidas de tiempo.
• Conocimiento y manejo del cronómetro.
• Utilización del calendario.
• Distinguir estaciones del año.
• Interés por la presentación limpia y ordenada.

5º de Primaria

• Conocimiento y uso de las medidas de tiempo.
• Utilización del cronómetro.
• Manejo de las equivalencias y transformación entre horas, minutos y segundos.
• Utilización del sistema sexagesimal para la medida del tiempo.

Medida de la Longitud

Principio de Conservación

Característica de los cuerpos de no cambiar aunque se manipulen. Diferenciación entre acciones reversibles y no reversibles sobre objetos. Diseñar sencillos experimentos.

• Conservación de la longitud:
  • Estadio 1: La longitud depende de los extremos.
  • Estadio 2: La longitud varía al desplazar el segmento, lo importante es el punto final.
  • Estadio 3: Percibe la longitud independientemente de factores ajenos.
• Transitividad: Si a = b y b = c, entonces a = c.

Facetas y Etapas en la Medida

• Papel de la percepción en la medición.
• Papel de la comparación.
• Búsqueda de un referente.
• La medición como un sistema.
• La medición como una actividad afectiva.

Facetas y Etapas en la Longitud

2º de Primaria

• La cinta métrica y la regla graduada.
• Estimación de resultados de medida en contextos familiares.
• Explicación oral de la estrategia y el proceso seguido.
• Reconocimiento del kilómetro y el metro.
• Comparación de objetos según su longitud.

3º de Primaria

• Realización de mediciones usando instrumentos y unidades de medida convencionales.
• Conocimiento y uso de las unidades de medida convencionales de longitud.
• Comparación y ordenación de unidades y cantidades de una misma magnitud.

4º de Primaria

• Aplicación de las equivalencias entre las unidades de una misma magnitud.
• Composición y descomposición.
• Comparación y ordenación.
• Explicación oral y escrita del proceso seguido.

5º de Primaria

• Aplicación de las equivalencias entre las unidades de una misma magnitud.
• Desarrollo de estrategias personales de manera exacta y aproximada.

Facetas y Etapas en la Medida (Capacidad y Peso/Masa)

2º de Primaria

• Reconocimiento del kilogramo y el litro como unidades convencionales de medida.

3º de Primaria

• Conocimiento y uso de las unidades de medida convencionales de capacidad y peso/masa.
• Comparación y ordenación de unidades y cantidades de una misma magnitud.
• Elaboración y utilización de estrategias personales para medir.

4º de Primaria

• Conocimiento y uso de las unidades de medida convencionales de capacidad y peso/masa.
• Comparación y ordenación de unidades y cantidades de una misma magnitud.
• Elaboración y utilización de estrategias personales para medir.
• Aplicación de las equivalencias entre las unidades de una misma magnitud.

5º de Primaria

• Composición y descomposición de unidades de medida de una misma magnitud.
• Estimación de pesos y capacidades de objetos y espacios conocidos.

Propiedades del Modelo de Van Hiele

• Secuencial: Se debe recorrer los niveles en orden.
• Progresivo: El progreso de un nivel a otro depende más del contenido y métodos de instrucción que de la edad.
• Intrínseco y extrínseco: Lo implícito en un nivel puede ser objeto explícito en el siguiente.
• Lingüístico: Cada nivel tiene sus propios signos lingüísticos y sus propios sistemas de relaciones entre símbolos.
• Desajuste: Si los recursos empleados no se adaptan al nivel del estudiante, este no los comprenderá y no progresará.