Conceptes Fonamentals de Geometria: Figures Planes, Cossos i Teoremes

1. Elements Fonamentals de la Geometria Plana

Punt

És l'element mínim amb sentit geomètric. No té dimensions, longitud, àrea ni volum. És simplement un element de referència.

Línia

És una successió infinita de punts. Pot ser recta o corba.

Corba

És una línia que té curvatura.

Recta

És una línia sense curvatura, infinita pels dos costats.

Semirecta

És una línia recta que per un dels seus costats està limitada per un punt.

Segment

És una línia recta limitada per un punt a cadascun dels seus costats. Té longitud.

Posicions relatives de rectes

• Paral·leles
• Coincidents
• Secants (X)
• Perpendiculars (+)

Mediatriu: És la recta perpendicular a un segment i que passa pel seu punt mitjà.

2. L'Angle i les Seves Propietats

L'angle és la part del pla compresa entre dues semirectes que parteixen del mateix punt, entre dues rectes secants o entre dos segments que parteixen del mateix punt.

Elements d’un angle

• Vèrtex: És el punt comú dels segments o semirectes que formen l'angle; o el punt de tall de les rectes que formen l'angle.
• Costats: Cadascun dels dos segments, semirectes o trossos de rectes que delimiten l'angle.

Tipus d’angles segons la seva amplitud

• Nuls: 0º
• Convexos: 0º–180º
  • Agut: 0º–90º
  • Recte: 90º
  • Obtús: 90º–180º
• Plans: 180º
• Còncavs: 180º–360º
• Complets: 360º

Posicions relatives d'angles

• Consecutius: Tenen en comú el vèrtex i un costat.
• Adjacents: Són consecutius que tenen el costat no comú sobre la mateixa recta. Són sempre suplementaris.
• Oposats pel vèrtex: Tenen en comú el vèrtex, però no els costats. Tenen la mateixa amplitud.

Suma d'angles particulars

• Complementaris: Sumen 90º.
• Suplementaris: Sumen 180º.
• Conjunts (o Consecutius complets): Sumen 360º. (Angle interior + Angle exterior)

Bisectriu: És la semirecta que passa pel vèrtex d'un angle i el divideix en dues parts d'igual amplitud.

3. Classificació de Figures Planes

Figura plana: És qualsevol línia corba tancada, línia poligonal tancada o línia mixta tancada, juntament amb el seu interior.

4. Polígons

Un polígon és qualsevol figura plana formada per una línia poligonal tancada i el seu interior.

Elements d'un polígon

• Costats: Els segments que formen la línia poligonal.
• Vèrtexs: Punts on s'uneixen els costats.
• Angles interiors: Angles formats pels costats a l'interior del polígon.
• Diagonals: Segments que uneixen dos vèrtexs no consecutius.

Elements d'un polígon regular

• Costat
• Vèrtex
• Radi: Segment que uneix un vèrtex amb el centre.
• Apotema: Segment que uneix el centre amb el punt mitjà d'un costat.
• Angle interior
• Angle central: Angle entre dos radis consecutius.
• Centre: Punt que equidista de tots els vèrtexs.

5. Circumferència i Cercle

Circumferència

És una línia corba tancada els punts de la qual estan tots a la mateixa distància d'un punt anomenat centre.

Cercle

És una figura plana corba que està tancada per una circumferència.

Elements de la circumferència i el cercle

• Centre: Punt del qual equidisten tots els punts de la circumferència.
• Radi: Segment que uneix el centre amb un punt de la circumferència.
• Corda: Segment que uneix dos punts de la circumferència.
• Diàmetre: Corda que passa pel centre (és la corda més llarga).
• Arc: Part de la circumferència entre dos punts d'ella.
• Semicircumferència: Arc igual a mitja circumferència.
• Semicercle: Mig cercle.

Superfícies circulars

• Sector circular: Part limitada per dos radis i un arc.
• Segment circular: Part limitada per una corda i un arc.
• Corona circular: Part compresa entre dues circumferències que comparteixen centre.
• Trapezi circular: Part de la corona circular entre dos segments que uneixen les dues circumferències (radis).

Posicions relatives d'una recta i una circumferència

• Recta exterior: La recta no talla la circumferència.
• Recta tangent: La recta talla la circumferència en un punt.
• Recta secant: La recta talla la circumferència en dos punts.

6. Perímetre i Àrea de Figures Planes

En els polígons, el perímetre es calcula com la suma de les longituds dels costats.

8. Poliedres i Cossos Geomètrics

Cos geomètric: Qualsevol figura que es representa a l'espai tridimensional.

Poliedre: És un cos geomètric les cares del qual són polígons.

Classificació dels poliedres

Segons el nombre de cares

• Tetraedres: 4 cares
• Pentaedres: 5 cares
• Hexaedres: 6 cares
• Heptaedres: 7 cares
• Octaedres: 8 cares
• Eneaedres: 9 cares
• Decaedres: 10 cares
• Endecaedres: 11 cares
• Dodecaedres: 12 cares
• Icosaedres: 20 cares

Segons el tipus

• Regulars o platònics: Totes les seves cares són polígons regulars iguals.
• Prismes: Tenen dues cares iguals i paral·leles anomenades bases, i cares laterals que són paral·lelograms.
• Piràmides: Formades per un polígon anomenat base i per cares laterals que són triangles que s'uneixen en un punt (cúspide o vèrtex superior).

Elements del prisma

• Bases: Els dos polígons iguals i paral·lels.
• Cares laterals: Els paral·lelograms que van d'una base a l'altra.
• Vèrtexs: Els punts on es tallen les arestes.
• Arestes de la base: Els costats de les bases.
• Arestes laterals: Els costats de les cares laterals.
• Alçada: La distància d'una base a l'altra.

Tipus de prismes segons els angles

• Rectes: Les arestes laterals són perpendiculars a les bases.
• Oblics: Les arestes laterals no són perpendiculars a les bases.

Tipus de prismes segons les bases

• Triangulars: Les bases són triangles.
• Quadrangulars: Les bases són quadrilàters.
  • Paral·lelepípedes: Les bases són paral·lelograms.
  • Ortoedres: Són paral·lelepípedes rectes.
  • Cubs: Són ortoedres amb totes les cares quadrades.
• Pentagonals: Les bases són pentàgons.
• Hexagonals: Les bases són hexàgons.
• Heptagonals: Les bases són heptàgons.
• Octogonals: Les bases són octògons.
• Regulars: Les bases són polígons regulars.
• Irregulars: Les bases són polígons irregulars.

Elements de la piràmide

• Base: El polígon oposat a la cúspide.
• Cares laterals: Els triangles que van de la base a la cúspide.
• Cúspide (o Vèrtex superior): El punt on es tallen les arestes laterals.
• Arestes de la base: Els costats de la base.
• Arestes laterals: Els costats dels triangles.
• Alçada: La distància de la base a la cúspide.
• Apotema: L'alçada dels triangles laterals (només en piràmides regulars).

Tipus de piràmides segons els angles

• Rectes: La cúspide es troba sobre el centre de la base.
• Obliqües: La cúspide no es troba sobre el centre de la base.

Tipus de piràmides segons la base

• Triangulars: La base és un triangle (Exemple: Tetraedre regular).
• Quadrangulars: La base és un quadrilàter.
• Pentagonals: La base és un pentàgon.
• Hexagonals: La base és un hexàgon.
• Heptagonals: La base és un heptàgon.
• Octogonals: La base és un octògon.
• Eneagonals: La base és un eneàgon.
• Decagonals: La base és un decàgon.
• Regulars: La base és un polígon regular.
• Irregulars: La base és un polígon irregular.

9. Cossos Rodons (No Poliedres)

Són cossos geomètrics que tenen una superfície corba en alguna de les cares.

Esfera

Conjunt de punts de l'espai que equidisten d'un punt anomenat centre.

• Radi: Segment que uneix el centre de l'esfera amb qualsevol punt d'ella.

Cilindre

Cos geomètric format per un rectangle que gira al voltant d'un dels seus costats.

Elements del cilindre

• Bases: Els dos cercles que forma el rectangle en girar.
• Superfície lateral: La que forma el rectangle en girar.
• Generatriu: Alçada de la superfície lateral.
• Alçada: Distància entre les dues bases.
• Radi: És el radi del cercle que forma la base.

Tipus de cilindres segons els angles

• Rectes: La generatriu és perpendicular a les bases.
• Oblics: La generatriu no és perpendicular a les bases.

Con

Cos geomètric format per un triangle rectangle que gira al voltant d'un dels seus catets.

Elements del con

• Base: El cercle que forma el triangle en girar.
• Superfície lateral: La que forma el triangle en girar.
• Generatriu: Segment des del vèrtex fins a un extrem de la base.
• Alçada: Distància entre la base i el vèrtex.
• Radi: És el radi del cercle que forma la base.
• Vèrtex: Punt oposat a la base.

Tipus de cons segons els angles

• Rectes: El vèrtex està sobre el centre de la base.
• Oblics: El vèrtex no està sobre el centre de la base.

10. Càlcul d'Àrea i Volum de Cossos

A tots els poliedres, l'àrea total es calcula com la suma de les àrees de les cares.

Àrea de cossos rodons

Volum de poliedres

• Prismes: Volum (V) = Àrea de la base (A_b) × Alçada (h)
• Piràmides: Volum (V) = (Àrea de la base (A_b) × Alçada (h)) / 3

Volum de cossos rodons

11. Semblança de Figures

Dues figures o més són semblants si tenen la mateixa forma, però mesures diferents. Dos polígons són semblants si els costats corresponents són proporcionals.

12. Teorema de Tales

Si en un triangle es traça una línia paral·lela a qualsevol dels costats, s'obté un triangle que és semblant al triangle donat.

13. Teorema de Pitàgores

En un triangle rectangle, la suma dels quadrats dels catets és igual al quadrat de la hipotenusa.

14. Moviments en el Pla

Un moviment en el pla és una transformació geomètrica que no altera la forma ni la mesura de les figures.

• Translació: Una figura és traslladada quan es mou en línia recta en qualsevol direcció.
• Gir (o Rotació): Una figura pateix un gir quan rota al voltant d'un punt.
• Simetria: Una figura és simètrica a una altra si en doblegar per una recta, anomenada eix de simetria, coincideixen.