Conceptes Fonamentals de Funcions i Sistemes d'Equacions

Tipus de Funcions

Funcions Racionals

Definició: Les funcions racionals són aquelles l'expressió algebraica de les quals és un quocient de polinomis del tipus: F(x) = P(x)/Q(x), amb Q(x) ≠ 0.

Funció de Proporcionalitat Inversa

Definició: És una funció racional del tipus F(x) = K/x, amb K ≠ 0. La seva gràfica és una hipèrbola.

Funcions Exponencials

Les funcions exponencials més senzilles són del tipus F(x) = a^x, en què 'a' és un nombre real positiu (a > 0) i diferent d'1 (a ≠ 1).

Característiques de les Funcions Exponencials

• Domini: Tots els nombres reals (ℝ).
• Recorregut: (0, +∞). La 'y' sempre pren valors positius.
• Sempre passa pel punt (0,1).
• Si a > 1, la funció és creixent.
• Si 0 < a < 1, la funció és decreixent.

Funcions Definides a Trossos

Definició: És una funció que té diferents expressions algebraiques segons l'interval on es troba la variable independent 'x'.

Funció Composta

Definició: Donades dues funcions f i g, s'anomena funció composta f amb g la funció (f ∘ g) que compleix que (f ∘ g)(x) = f[g(x)].

Discussió de Sistemes d'Equacions

Definició

Discutir un sistema d'equacions és classificar-lo tenint en compte el nombre de solucions que té:

• Compatible: Aquell que té alguna solució.
  • Si la solució és única, el sistema és determinat (SCD).
  • Si té més d'una solució, el sistema és indeterminat (SCI).
• Incompatible: Aquell que no té solució.

Funcions

Concepte de Funció

Una funció real f de variable real és una relació que associa a cada nombre real 'x' un únic nombre real 'y = f(x)'. Es pot expressar d'aquesta manera: f: ℝ → ℝ / x ↦ y = f(x).

Domini i Recorregut

Definició

Donada la funció f: ℝ → ℝ tal que y = f(x):

• El domini de la funció és el conjunt dels valors per als quals la funció està definida. Es representa amb Dom(f).
• El recorregut de la funció és el conjunt de valors que pren la funció. Es representa amb Im(f).

Com Trobar el Domini d'una Funció

Primer, es consideren les operacions que apareixen en l'expressió algebraica de f(x):

• Les expressions polinòmiques estan definides per a tots els nombres reals.
• Les expressions que tenen 'x' en el denominador no estan definides quan el denominador s'anul·la.
• Les arrels d'índex parell només estan definides per a radicands no negatius.
• Els logaritmes només estan definits per a nombres reals positius.

Segon, s'expressen les condicions anteriors per al domini de la funció.

Funció Lineal

Funcions Polinòmiques de Primer Grau

Les funcions polinòmiques de primer grau s'anomenen funcions afins i són del tipus f(x) = mx + n. La seva gràfica és una recta amb pendent 'm' que passa pel punt (0,n). El nombre 'n' s'anomena ordenada a l'origen.

Característiques

• Si m = 0, la funció f(x) = n s'anomena funció constant, i la seva gràfica és una recta paral·lela a l'eix X que passa pel punt (0, n).
• Si n = 0, la funció f(x) = mx s'anomena funció lineal de proporcionalitat directa, la seva gràfica és una recta amb pendent 'm' que passa per l'origen de coordenades.
• Si m ≠ 0 i n ≠ 0, la seva gràfica és una recta creixent (si m > 0) o decreixent (si m < 0), que talla l'eix Y en el punt (0, n).