Comprendiendo las Operaciones Matemáticas: Estructuras y Significados Fundamentales

Ideas Fundamentales sobre las Operaciones Matemáticas

1. La adición y la sustracción están conectadas. La adición expresa el total en términos de las partes, y la sustracción expresa una parte que falta.
2. La multiplicación implica contar grupos del mismo tamaño y determinar cuántos elementos hay en total (pensamiento multiplicativo).
3. La multiplicación y la división están relacionadas. La división expresa un factor que falta en términos del factor conocido y del producto.
4. Los modelos se pueden utilizar para resolver problemas contextuales para todas las operaciones y para averiguar qué operación está involucrada en un problema, sin importar el tamaño de los números.

Estructuras de los Problemas de Adición y Sustracción

Existen cuatro estructuras principales para los problemas de adición, que incluyen tanto la suma como la resta. Conocer la estructura lógica de estos problemas ayudará a nuestros alumnos a interpretar la variedad de situaciones matemáticas. Los investigadores han dividido los problemas de suma y resta en categorías basadas en el tipo de relaciones involucradas. Estas son las siguientes: problemas de unión, separación, de parte-parte-todo y comparación.

• Problemas de Unión

  En la acción de unir intervienen tres cantidades: una cantidad inicial o de partida, una cantidad de cambio (la parte que se añade) y la cantidad resultante. Cualquiera de estas tres cantidades puede ser desconocida.

• Problemas de Separación

  En los problemas de separación, la cantidad inicial es el todo o la cantidad mayor, mientras que en los problemas de unión, el todo es el resultado. En los problemas de separación, el cambio es una cantidad que se resta o quita de la cantidad inicial.

• Problemas de Parte-Parte-Todo o Combinación

  Estos problemas involucran dos partes que se combinan para formar un todo. No hay una distinción significativa entre las partes (es decir, ninguna tiene más importancia que la otra).

• Problemas de Comparación

  Estos problemas implican la comparación de dos cantidades. La tercera cantidad, en realidad, no existe como una entidad separada, pues es la diferencia entre las otras dos. Hay tres maneras de presentar los problemas de comparación, dependiendo de qué cantidad se desconozca: la cantidad más pequeña, la más grande o la diferencia. Es crucial evitar que los alumnos asuman simplistamente que la adición siempre significa 'juntar' y la sustracción siempre significa 'quitar', ya que esto puede generar dificultades en la comprensión de las operaciones.

Estructuras de los Problemas de Multiplicación y División

Existen cuatro estructuras multiplicativas clave. El término 'multiplicativo' hace referencia a todos los tipos de problemas que implican multiplicación y división. Los más frecuentes en el ámbito escolar son los de grupos iguales y los de comparación multiplicativa. En los problemas multiplicativos, un número o factor establece cuántos conjuntos, grupos o partes de igual tamaño están involucrados. Otro factor indica el tamaño de cada conjunto. Y el tercer número es el producto total.

• Problemas de Grupos Iguales

  Cuando el número de grupos y el tamaño de estos son conocidos, se trata de una situación de multiplicación (conocemos el factor 1 y el factor 2). Cuando el número de conjuntos o el tamaño de cada uno es desconocido (es decir, falta el factor 1 o el factor 2), entonces estamos ante una situación de división. Estas situaciones de división no son idénticas: