Comportamiento Dinámico de Sistemas de Control de Primer y Segundo Orden
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Introducción a la Respuesta de Sistemas
La respuesta de un sistema representa la solución del modelo matemático que lo describe y consta de dos partes fundamentales:
- Respuesta transitoria: Representa la transición entre el estado inicial del sistema y su estado una vez que ha absorbido por completo la entrada.
- Respuesta en estado estacionario: Representa la respuesta del sistema para un tiempo infinito después de la aplicación de la entrada, una vez que el sistema se ha estabilizado.
Sistemas de Primer Orden
Son aquellos cuyos modelos matemáticos responden a una ecuación diferencial de primer orden:
τ · dy/dt + y = K · u
- y: Salida del sistema.
- u: Función de entrada al sistema.
- τ: Constante de tiempo.
- K: Ganancia en estado estacionario.
Respuesta a una entrada escalón
La respuesta del sistema será la suma de la respuesta transitoria y la respuesta en estado estable. La constante de tiempo (τ) es el tiempo necesario para que un sistema de primer orden con entrada escalón alcance su valor en estado estable; además, define la velocidad de respuesta: cuanto más grande sea, más lenta será la respuesta.
Respuesta a una entrada senoidal
La respuesta en estado estable tiende a una función senoidal de menor amplitud y desfasada respecto a la entrada.
Sistemas de Segundo Orden
Son aquellos cuyos modelos matemáticos responden a la siguiente ecuación diferencial:
d²y/dt² + 2ζωₙ(dy/dt) + ωₙ²y = Kωₙ²u
- y: Salida o respuesta del sistema.
- u: Función de entrada al sistema.
- ζ (zeta): Relación de amortiguamiento.
- ωₙ: Frecuencia natural del sistema.
- K: Ganancia en estado estacionario.
Respuesta a una entrada escalón
Los sistemas de segundo orden se clasifican según el coeficiente de amortiguamiento (ζ):
- ζ > 1 (Sobreamortiguado): El sistema responde a una entrada en escalón lentamente.
- ζ = 1 (Críticamente amortiguado): El sistema responde a una entrada en escalón con máxima velocidad sin oscilar.
- 0 < ζ < 1 (Subamortiguado): El sistema responde rápidamente, pero presenta oscilaciones.
- ζ = 0 (Sin amortiguamiento): El sistema oscila permanentemente.
Respuesta a una entrada rampa
En este caso, la respuesta en estado estable tiende a una recta paralela a la entrada, pero desfasada en un valor de 2ζ/ωₙ.
Respuesta a una entrada senoidal
La respuesta en estado estable tiende a una función senoidal de menor amplitud y desfasada un ángulo de φ.