Compendio de Teoremas Fundamentales y Propiedades Matemáticas Esenciales

Fundamentos de Álgebra y Teoría de Ecuaciones

Ecuaciones Polinómicas de Grado n

Una ecuación algebraica de grado $n$ o polinómica de grado $n$ es una ecuación que se obtiene igualando a cero un polinomio en una variable.

Teoremas Fundamentales de Raíces

Teorema Fundamental del Álgebra (TFA)

Toda ecuación algebraica de grado $n$ con $n \ge 1$ de la forma:

$$a_0x^n + a_1x^{n-1} + a_2x^{n-2} + \dots + a_n = 0$$

Donde $a_i \in \mathbb{C}$ para todo $i = 0, 1, 2, \dots, n$ y $a_0 \neq 0$, tiene por lo menos una raíz $r$, con $r \in \mathbb{C}$.

Teorema de las Raíces Racionales (Teorema de Gauss)

Si un polinomio $P(x)$ de grado $n$, con coeficientes enteros y término independiente no nulo, admite una raíz racional $p/q$ (fracción irreducible), entonces $p$ es divisor del término independiente ($a_n$) y $q$ es divisor del coeficiente principal ($a_0$).

Para hallar las raíces racionales de $a_0x^n + a_1x^{n-1} + \dots + a_n = 0$, con $a_0 \neq 0$ y $a_i \in \mathbb{Z}$, se utiliza este teorema.

Teorema del Factor

Sea $P(x)$ un polinomio de grado $n \ge 1$. El binomio $(x-a)$ es un factor de $P(x)$ si y solo si $x=a$ es un cero (o raíz) de $P(x)$.

Operaciones y Sucesiones

Propiedades de la Sumatoria ($\sum$)

A continuación, se presentan las propiedades fundamentales del símbolo de sumatoria, donde los límites de la suma son $m$ y $n$, con $m < n$:

1. Propiedad Aditiva

   Si el término general es una suma de dos o más términos, la sumatoria es la suma de las sumatorias individuales:

   $$\sum_{k=m}^{n} (a_k + b_k) = \sum_{k=m}^{n} a_k + \sum_{k=m}^{n} b_k$$

2. Propiedad Homogénea

   Si el término general de la suma está multiplicado por una constante $c$, esta constante puede escribirse como factor de toda la suma:

   $$\sum_{k=m}^{n} c \cdot a_k = c \cdot \sum_{k=m}^{n} a_k$$

3. Propiedad Telescópica

   La suma de una diferencia de términos consecutivos se simplifica a la diferencia de los términos extremos:

   $$\sum_{k=m}^{n} (a_{k+1} - a_k) = a_{n+1} - a_m$$

Conceptos de Combinatoria

Número Factorial ($n!$)

Se llama número factorial de un número $n \in \mathbb{N}$, con $n \ge 1$, al producto de los números naturales desde uno hasta $n$.

Números Combinatorios

Se llama número combinatorio "$m$ en $n$" y se denota como $\binom{n}{m}$, al número natural que se obtiene a partir de la siguiente igualdad:

$$\binom{n}{m} = \frac{n!}{m!(n-m)!}$$

Conjuntos Numéricos y Desigualdades

Intervalos Reales

Los intervalos reales se definen como el conjunto de todos los números reales $x$ tales que, representados en la recta numérica, muestran una semirrecta, un segmento de la recta real o la totalidad de la recta.

Notación: Se designa un intervalo por sus extremos encerrados entre paréntesis (abierto) o corchetes (cerrado).

Propiedades de las Desigualdades

Sean $a, b, c, d \in \mathbb{R}$:

1. Si $a \le b$, entonces $a+c \le b+c$. (Propiedad Aditiva)
2. Si $a \le b$ y $c > 0$, entonces $a \cdot c \le b \cdot c$. (Multiplicación por positivo)
3. Si $a \le b$ y $c < 0$, entonces $a \cdot c \ge b \cdot c$. (Multiplicación por negativo, invierte la desigualdad)
4. Si $a \le b$ y $c \le d$, entonces $a+c \le b+d$. (Suma de desigualdades)
5. Si $a \in \mathbb{R}$, entonces $a^2 \ge 0$.

Valor Absoluto

El valor absoluto (VA) de un número real $x$ se denota $|x|$ y se define como sigue:

Para todo $x \in \mathbb{R}$:

• $|x| = x$, si $x \ge 0$
• $|x| = -x$, si $x < 0$