Compendio de Fórmulas Fundamentales y Ejercicios Resueltos de Funciones Matemáticas

Fórmulas Fundamentales y Conceptos Clave

Modelo de Crecimiento y Decrecimiento Exponencial

La fórmula general del modelo exponencial es:

$$A = A_0 \cdot b^t$$

• A → Cantidad final
• A₀ → Cantidad inicial
• b → Razón o base del cambio (factor de crecimiento o decrecimiento)
• t → Tiempo

Composición de Funciones

La composición de funciones implica sustituir una función dentro de otra.

Composición f ∘ h

$$(f \circ h)(x) = f(h(x))$$

Se sustituye la función h(x) dentro de f(x) en las variables "x".

Composición h ∘ f

$$(h \circ f)(x) = h(f(x))$$

Se sustituye la función f(x) dentro de h(x) en las variables "x".

Dominio de la Composición

El dominio es $$(-\infty, \infty)$$ a menos que la función resultante contenga variables en el denominador o raíces pares.

Ecuación de la Recta (Forma Pendiente-Intersección)

$$y = mx + b$$

Fórmula de la Pendiente (m)

$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

Vértice de una Parábola Cuadrática

El vértice se representa como V(h, k).

• Coordenada h: $$h = -\frac{b}{2a}$$
• Coordenada k: $$k = f(h)$$

La concavidad determina si el vértice es un máximo o un mínimo:

• Vértice mínimo: El coeficiente principal (a) tiene signo positivo (+). La parábola abre hacia arriba.
• Vértice máximo: El coeficiente principal (a) tiene signo negativo (-). La parábola abre hacia abajo.

Intersecciones con los Ejes Coordenados

La intersección con el eje Y ocurre cuando x = 0. En la forma $y = mx + b$, el punto es (0, b).

Ecuación Estándar de la Parábola (Forma Vértice)

$$y = (x - h)^2 + k$$

Modelo de Proporcionalidad Lineal o Interés Simple Básico

$$I = P \cdot c$$

• I → Intensidad, Interés o Ingreso
• P → Parámetro o Capital
• c → Constante o Tasa

Cálculo del Valor Máximo (Optimización)

El monto máximo o ingreso máximo (V) se alcanza en el vértice de la función cuadrática que modela el ingreso.

$$V = C_h(k)$$

Donde k representa el valor máximo alcanzado.

Ceros o Raíces de la Función

Son los puntos donde la función corta el eje x (es decir, donde $f(x) = 0$).

Fórmula de Interés Compuesto (Anual)

$$M = C(1 + r)^t$$

• M → Monto final
• C → Capital inicial
• r → Tasa de interés (anual)
• t → Tiempo (en años)

Cuestionario de Repaso de Funciones

1. Una función constante gráficamente se puede representar:

1. Una recta vertical

2. Una recta horizontal

3. Una línea recta con inclinación creciente

4. Una recta vertical y paralela al eje y.

2. ¿Qué significa la expresión f(2)? (1 acierto)

1. Que la función vale 2
2. Que la función se evalúa en 2
3. Que la función para los valores de y=2
4. Que la función no puede valer 2.

3. Si f(x) = 2x + 1, la función inversa de esta ecuación sería: (1 acierto)

a) $f^{-1}(x) = \frac{1}{2x} + 1$   b) $f^{-1}(x) = \frac{x-1}{2}$   c) $f^{-1}(x) = (x)^2 - 1$   d) $f^{-1}(x) = 2x + 1$

4. ¿Cuál de los siguientes es un grupo de funciones? (1 acierto)

1. Polinomial, trascendente, inversa, dependiente
2. Polinomial, trascendental, absoluto, intermitente
3. Algebraica, exponencial, inversa, aditiva
4. D) Algebraica, exponencial, inversa, compuesta

Problemas de Aplicación y Optimización

Problema 1: Ingresos de un Hotel

Un hotel que tiene 75 habitaciones puede rentarlas todas si el precio de alquiler por día es de $300.00, pero se ha encontrado que por cada 7.5 pesos de aumento en el precio de alquiler se tendría una habitación vacía. Determina:

1. El modelo de comportamiento para los ingresos del hotel en función del número de habitaciones rentadas. (6 aciertos)

Modelo de Ingreso:

$$i = 6x^2 + 18x + 24000$$

2. El monto máximo de ingreso. (3 aciertos)

Monto Máximo:

$$25,350$$

3. El número de habitaciones que quedaron vacías cuando el ingreso es máximo.

Habitaciones Vacías:

$$15 \text{ habitaciones}$$

Problema 2: Función Polinomial

Dada la siguiente función $f(x) = x^4 - 2x^3 - 13x^2 + 14x$, obtén:

1. Los ceros de la función (de manera analítica, no gráfica). (4 aciertos)

Ceros de la Función:

• $x = 4$
• $x = 2$
• $x = 4$
• $x = -3$

2. La intersección con el eje Y. (2 aciertos)

Intersección Y:

$$(0, 24)$$

Problema 3: Ecuación Cuadrática

Dada la ecuación cuadrática siguiente $f(x) = x^2 - 7x - 9$, obtén:

Concavidad

Indica hacia donde abre la gráfica (concavidad): hacia arriba

Rango de la Función

El rango de la función. (2 aciertos)

$$R = [-\frac{57}{4}, +\infty)$$

Intersección con el Eje Y

Las intersecciones con el eje “y”. (2 aciertos)

Intersección Y:

$$(0, -8)$$

Coordenadas del Vértice

Las coordenadas del vértice. (2 aciertos)

$$V = (\frac{5}{2}, -\frac{57}{4})$$

Problema 4: Costo de Fabricación

El costo de fabricación de un producto depende del número de artículos, “x” producidos. Esto viene dado por la ecuación $C(x) = 5000x - 0.4x^2 + 100$.

1. Establece una ecuación para establecer el costo por unidad producida (2 aciertos)

El costo por unidad $c(x)$ es $C(x)/x$:

$$c(x) = \frac{5000x - 0.4x^2 + 100}{x} = 5000 - 0.4x + \frac{100}{x}$$

Respuesta proporcionada: $c(x) = 5000x - 0.4x + \frac{100}{x}$

2. ¿Cuál es el costo por producir 255 unidades? (3 aciertos)

Costo para 255 unidades:

$$5000 - 0.4(255) + \frac{100}{255} = 4898.29$$

Problema 5: Interés Compuesto

¿Cuál será el monto en 4 años de $1,250,000 depositados en una cuenta bancaria, que otorga 12% de interés anual compuesto bimestralmente? (2 aciertos)

Fórmula utilizada (con los datos proporcionados en la solución):

$$A = A_0(1 + \frac{r}{n})^{nt}$$

$$A = 1,200,000(1 + \frac{0.15}{6})^{42} = 3,385,194.234$$

Problema 6: Decaimiento Exponencial (Carbono 14)

Utiliza la fórmula $y = 3e^{-0.0001316t}$ para calcular la cantidad de carbono 14 que subsiste en un fósil con 7,500 años de antigüedad. (2 aciertos)

$$y = 3e^{-0.0001316(7500)} = 1.1180$$

Problema 7: Solución de Ecuaciones

A. Obtén el valor de “x” en las siguientes ecuaciones (2 aciertos cada uno)

• Solución A: $x = -1.97$
• Solución B: $$x = -1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$$
• Solución C: $x = 0$