Compendio Esencial de Geometría: Definiciones, Fórmulas y Clasificación de Figuras

Conceptos Fundamentales de Geometría Plana

Líneas y Segmentos

MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO

Línea perpendicular cuyos puntos equidistan de los extremos del segmento (divide el segmento en dos partes iguales).

BISECTRIZ DE UN ÁNGULO

Semirrecta que divide al ángulo en dos partes iguales (tiene su origen en el vértice del ángulo).

LÍNEA CURVA

Línea que se extiende en una misma dirección, tiene una sola dimensión y contiene un número infinito de puntos.

LÍNEA RECTA

Línea continua de una dimensión, que varía de dirección paulatinamente. (Nota: Esta definición es comúnmente asociada a una curva, pero se mantiene el texto original).

PUNTO

El punto en geometría es un ente fundamental, lo que implica que solo puede definirse mediante comparación con otros elementos. Es una figura que carece de dimensiones (no dispone de volumen, longitud, etc.). Lo que hace un punto en geometría es señalar una cierta posición espacial que se establece a partir de un sistema de coordenadas.

Relaciones entre Líneas

• PARALELAS: No tienen ningún punto en común.
• SECANTES: Solo tienen un punto en común. (Una línea perpendicular es un tipo de línea secante).
• COINCIDENTES: Tienen todos los puntos comunes.

Tipos de Curvas

• CURVA ABIERTA: Es una curva cuyos extremos no se encuentran, es decir, sus puntas son abiertas (ej. parábola e hipérbola).
• CURVA CERRADA: Es una curva cuyos extremos se encuentran, es decir, no tiene puntos terminales (ej. círculo y elipse).

Dominios Espaciales

La delimitación de una figura geométrica define tres dominios:

• DOMINIO INTERIOR: En el interior de la figura.
• DOMINIO EXTERIOR: En el exterior de la figura.
• FRONTERA: En el borde o límite de la figura.

Diagrama de Voronoi

DIAGRAMA DE VORONOI: Descomposición de un espacio en regiones, de tal forma que a cada objeto se le asigna una región formada por los puntos más cercanos a él que a ninguno de los otros. Ejemplo histórico: Brote de cólera, Londres 1854 (John Snow).

Ángulos y su Medición

Unidades de Medida

GRADO SEXAGESIMAL

Es la amplitud del ángulo resultante de dividir la circunferencia en 360 partes iguales. 1º = 60’ = 3600’’ y 1’ = 60’’.

Sistema Sexagesimal

Un elemento de un orden cualquiera equivale a SESENTA elementos de un orden inmediatamente inferior. / SESENTA elementos de un orden cualquiera equivalen a un elemento de un orden inmediatamente superior.

RADIÁN

Ángulo central de la circunferencia, en el que la longitud del radio es igual a la del arco. Equivalencias: 360º = 2π rad y 180º = π rad.

Clasificación de Ángulos

Los ángulos se clasifican según su amplitud:

• AGUDO: (< 90º)
• RECTO: (90º)
• OBTUSO: (> 90º)
• CONVEXO: (< 180º)
• LLANO: (180º)
• CÓNCAVO: (> 180º)
• NULO: (0º)
• COMPLETO: (360º)
• NEGATIVO: (< 0º)
• MAYOR DE 360º

Polígonos, Teoremas y Puntos Notables

Teorema de Pitágoras

La suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa:

A² + B² = C²

Clasificación de Cuadriláteros

Los cuadriláteros se dividen en:

• PARALELOGRAMOS:
  • Rectángulo (incluye el Cuadrado)
  • Romboide (incluye el Rombo)
• NO PARALELOGRAMOS:
  • Trapecio (Trapecio rectángulo o isósceles)
  • Trapezoide

Puntos Notables del Triángulo

CIRCUNCENTRO

Punto de corte de las mediatrices de los lados de un triángulo.

CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA

Circunferencia que tiene por centro el circuncentro y pasa por los vértices del triángulo.

INCENTRO

Punto de corte de las bisectrices de los ángulos de un triángulo.

CIRCUNFERENCIA INSCRITA

Circunferencia interior al triángulo y tangente a todos sus lados.

PUNTO DE TANGENCIA DE LA CIRCUNFERENCIA INSCRITA

Está en la perpendicular a un lado que pasa por el incentro.

Preguntas Frecuentes sobre Figuras Geométricas

• ¿Un paralelogramo es un cuadrado? NO
• ¿Un cuadrilátero es un paralelogramo? NO
• ¿Un rombo es un cuadrado? NO
• ¿Un paralelogramo es un rombo? NO
• ¿Un rombo es un paralelogramo? SÍ
• ¿Un rectángulo es un cuadrilátero? SÍ
• ¿Un romboide es un paralelogramo? SÍ
• ¿Un romboide es un cuadrilátero? SÍ
• ¿Puede un triángulo isósceles ser rectángulo? SÍ (Todos los triángulos del tangram son un ejemplo).
• ¿Puede un triángulo rectángulo ser isósceles? SÍ
• ¿Puede un triángulo escaleno ser rectángulo? SÍ
• ¿Puede un triángulo equilátero ser rectángulo? NO (En un triángulo rectángulo, la hipotenusa siempre es más grande que sus catetos, lo que impide que los tres lados sean iguales).

Fórmulas de Medición: Área y Volumen

Geometría Plana (2D)

CIRCUNFERENCIA – LONGITUD (Perímetro)

Fórmula: $\pi \times d = 2 \pi r$

CÍRCULO – ÁREA

Fórmula: $A = \pi r^2$ (Derivación: (perímetro $\times$ apotema) / 2 = (2 $\pi r \times r$) / 2 = $\pi r^2$)

Geometría Espacial (3D)

Diferencia entre conceptos:

• CAPACIDAD (L): Cuánta sustancia cabe dentro de un cuerpo.
• VOLUMEN (m³): Cuánto espacio ocupa un cuerpo.

Fórmulas de Volumen

• Cilindro: Área base $\times$ altura = $\pi \times r^2 \times h$
• Cono: $1/3$ del volumen del cilindro. $V = (\pi r^2 h) / 3$
• Prisma / Cubo: Área base $\times$ altura
• Pirámide: $1/3$ del volumen del prisma (o cubo). $V = (A_{base} \times h) / 3$
• Esfera: $2 \times$ Volumen del cono (donde $h = 2r$). $V = 2 \times (\pi r^2 \times 2r / 3) = 4 \pi r^3 / 3$