Compendio de Álgebra: Operaciones con Conjuntos, Exponentes, Radicales, Logaritmos y Polinomios

Conjuntos

A ⊂ B (Subconjunto)
A = B (Conjuntos iguales)
A ∪ B (Unión)
A ∩ B (Intersección)

Operaciones con Racionales

Suma:
a/b + c/b = (a + c)/b
a/b + c/d = (ad + bc)/bd
a/b + c/bn = (an + c)/bn
Producto:
a/b * c/d = ac/bd
División:
(a/b) / (c/d) = (ad)/(bc)

Leyes de los Exponentes

1. (ab)ⁿ = aⁿbⁿ
2. (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ
3. aⁿa^m = a^n+m
4. a^m/aⁿ = a^m-n
5. (aⁿ)^m = a^nm
6. a^-1 = 1/a
7. a^-n = 1/aⁿ
8. a⁰ = 1

Propiedades de las Raíces

1. ⁿ√(a^m) = (ⁿ√a)^m
2. ⁿ√(ab) = ⁿ√a * ⁿ√b
3. ⁿ√(a/b) = ⁿ√a / ⁿ√b
4. ^m√(ⁿ√a) = ^mn√a

Ejemplos de Raíces

∛64 = ∛(8²) = (∛8)²= 2² = 4
∛1000 = ∛(8 * 125) = ∛8 * ∛125 = 2 * 5 = 10
⁴√(16/81) = ⁴√16 / ⁴√81 = 2/3
∛√64 = ⁶√64 = 2

Propiedades de los Logaritmos

1. log_b(AB) = log_bA + log_bB
2. log_b(A/B) = log_bA - log_bB
3. log_b(Aⁿ) = n log_bA
4. log_b(^m√(Aⁿ)) = log_b(A^n/m) = (n/m)log_bA
5. log_bA = 1/log_Ab
6. log_bA = logA/logb = lnA/lnb

Operaciones con Polinomios

Suma y Resta

Se agrupan términos semejantes.
Ejemplo: Si P(x) = x⁴ + 3x³ - 4x² + 2x - 1 y Q(x) = 5x⁶ - 2x⁴ - 4x³ + 4x² + 6, entonces P(x) + Q(x) = (x⁴ + 3x³ - 4x² + 2x - 1) + (5x⁶ - 2x⁴ - 4x³ + 4x² + 6) = 5x⁶ - x⁴ - x³ + 2x + 5

Multiplicación

Se utiliza la ley distributiva del producto con respecto a la suma y se agrupan términos semejantes.
Ejemplo: Si P(x) = 4x³ + 2x - 1 y Q(x) = 2x⁴ + 3x, entonces P(x)Q(x) = (4x³ + 2x - 1)(2x⁴ + 3x) = 8x⁷ + 12x⁴ + 4x⁵ + 6x² - 2x⁴ - 3x = 8x⁷ + 4x⁵ + 10x⁴ + 6x² - 3x

División

Se ordenan los polinomios de forma descendente con respecto al grado de una misma variable. Se divide el primer término del dividendo por el primer término del divisor y se obtiene el primer término del cociente. Se resta del dividendo el producto del primer término del cociente por el divisor y se obtiene el primer residuo (esto implica cambiar todos los signos del producto efectuado y reducir términos semejantes con el dividendo). Se bajan los términos restantes del dividendo sumándolos al residuo anterior. Se divide el primer término del residuo por el primer término del divisor, obteniendo así el segundo término del cociente. Se procede de forma análoga hasta obtener un residuo nulo o de grado inferior al divisor.

Productos Notables y Factorización

Cuadrado de un binomio: (a + b)² = a² + 2ab + b²
(a - b)² = a² - 2ab + b²
Cuadrado de un polinomio: (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc
(a + b + c + d)² = a² + b² + c² + d² + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd
Producto de dos binomios conjugados: (a + b)(a - b) = a² - b²
Producto de dos binomios con un término común: (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab
Cubo de un binomio: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
Cubo de un trinomio: (a + b + c)³ = a³ + b³ + c³ + 3a²b + 3ab² + 3a²c + 3ac² + 3b²c + 3bc² + 6abc
Suma y resta de cubos: (a + b)(a² - ab + b²) = a³ + b³
(a - b)(a² + ab + b²) = a³ - b³