Classificació i Càlcul d'Isometries i Transformacions Ortogonals

Transformacions Ortogonals (TO)

• Es conserven la norma, la distància i l'angle.
• Una transformació A és ortogonal si A · Aᵀ = Id.
• El determinant de A és +1 o -1.
• Un vector fix és un vector propi associat al valor propi 1.
• Si F i G són transformacions ortogonals, llavors la seva composició F o G també ho és.
• El determinant de la composició H = F o G és det(H) = det(G) · det(F).
• Equacions: Te(x,y) = (x,y).
• Canvi de base: Te = C_ne · T_n · C_ne⁻¹.
• Nota: No hi ha A*. Te ha de ser simètrica.

Classificació de TO en R²

1. Calculem el determinant de A.
2. Si det(A) = -1:
   • Simetria axial. Eix: Ker(A - Id). Exemple: f(x,y) = (x, -y) (matriu [[1,0],[0,-1]]).
3. Si det(A) = +1:
   • Identitat. Angle = 0°.
   • Simetria central (-Id). Angle = 180°.
   • Rotació qualsevol. Angle = arccos(Traça(A)/2). Matriu de rotació: [[cos(θ), -sin(θ)], [sin(θ), cos(θ)]].

Classificació de TO en R³

1. Calculem el determinant de A.
2. Si det(A) = -1:
   • Simetria central (-Id).
   • Calculem el rang de (A - Id):
     • Si Rang(A - Id) = 1: Simetria especular. Pla: Ker(A - Id). Exemple de matriu T_n: [[-1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]].
     • Si Rang(A - Id) = 3: Simetria rotacional. Angle = arccos((Traça(A) + 1)/2). Eix: Ker(A + Id). Pla: Ker(A + Id) [ortogonal]. Exemple de matriu T_n: [[-1,0,0],[0,cos(θ),-sin(θ)],[0,sin(θ),cos(θ)]].
3. Si det(A) = +1:
   • Identitat (Id). Angle = 0°.
   • Rotació qualsevol. Angle = arccos((Traça(A) - 1)/2). Eix: Ker(A - Id). Si l'angle és 180°, és una simetria axial.

Construcció de la Base Canònica Normalitzada (CNE)

1. Cercar un punt de l'eix o pla (aquell que verifica l'equació).
2. De l'equació: si està igualada a 0, es prenen els termes independents; si no, es cancel·len tots i es deixen en funció del signe, i es normalitza.
3. Es cerca u₂ i es normalitza.
4. Es cerca u₃ amb (i,j,k) i es normalitza.
5. Els tres vectors u formen la CNE.
6. Canvi de base i A(x,y,z).
7. La imatge d'un punt és A (punt en vertical).

Isometries (ISO)

• Conserven només les distàncies.
• Si F i G són isometries, la seva composició H = F o G també ho és.
• Si F és una isometria, la seva inversa també ho és.
• Una isometria Te es pot expressar com A + t, on A és una transformació ortogonal i t és un vector de translació.

Classificació d'Isometries en R²

1. Calculem el determinant de A.
2. Si det(A) = -1:
   • Simetria axial. Si té punts fixos (el sistema (Id - A)p = t té solució).
   • Lliscament. Si no té punts fixos (el sistema (Id - A)p = t no té solució).
3. Si det(A) = +1:
   • Translació. A = Id, t = (a,b).
   • Simetria central. Centre p = 1/2 (a,b). A = -Id.
   • Gir. Angle = arccos(Traça(A)/2). Centre p: solució de (Id - A)p = t.

Classificació d'Isometries en R³

1. Calculem el determinant de A.
2. Si det(A) = -1:
   • Simetria central. A = -Id. Centre p = 1/2 (a,b,c).
   • Calculem el rang de (Id - A):
     • Si Rang(Id - A) = 1:
       • Simetria especular. Pla: (Id - A)p = t. Ha de tenir solució; si no, és un lliscament.
       • Lliscament. Pla: (Id - A)p = t - V. Vector de lliscament V = 1/2 (Id + A)t.
     • Si Rang(Id - A) = 3:
       • Simetria rotacional. Eix x = p + λu, on p és la solució de (Id - A)p = t, i u ∈ Ker(A + Id). Angle = arccos((Traça(A) + 1)/2). Pla: x = p + αv + βw, on v, w ∈ Ker(A + Id) [ortogonals].
   • Si det(A) = +1:
     • Translació. A = Id, t = (a,b,c).
     • Gir. Angle = arccos((Traça(A) - 1)/2). Eix: (Id - A)p = t. Si no té solució, és un moviment helicoidal. Si l'angle és 180°, és una simetria axial.
     • Moviment helicoidal. Angle = arccos((Traça(A) - 1)/2). Eix: (Id - A)²p = (Id - A)t. Vector de lliscament V = (A - Id)p + t.

Càlcul de la Forma Canònica Normalitzada (CNE) per Isometries en R²

• Simetria axial: a) Agafar un punt P de la recta. b) A = T_e (matriu de la transformació ortogonal). c) t = (Id - A)P.
• Lliscament: a) Calcular p. b) A = T_e. c) t = (Id - A)p + v.
• Translació: a) A = Id. b) t és el vector de translació.
• Simetria central: Centre p. a) A = -Id. b) t = 2p.
• Gir: Centre p. A = T_e. t = (Id - A)p.

Càlcul de la Forma Canònica Normalitzada (CNE) per Isometries en R³

• Simetria central: Centre p. a) A = -Id. b) t = 2p.
• Simetria especular de pla π: a) Calculem p. b) A = T_e. c) t = (Id - A)p.
• Lliscament de pla π i de vector de lliscament V: a) Calculem p. b) A = T_e. c) t = (Id - A)p + V.
• Simetria rotacional: a) P és un punt de l'eix r. b) A = T_e. c) t = (Id - A)P.
• Translació: A = Id. t és el vector de translació.
• Gir d'eix r i angle α: a) Calculem p de l'eix. b) A = T_e. c) t = (Id - A)p.
• Moviment helicoidal d'eix r, angle α i vector de lliscament V: a) Calculem p de l'eix. b) A = T_e. c) t = (Id - A)p + V.