Cinemática del Sólido Rígido

Movimiento Plano

Movimiento Plano

Se caracteriza porque los puntos del sólido rígido se mueven permaneciendo sobre planos fijos paralelos entre sí. Por la indeformabilidad del sólido rígido, el movimiento plano está determinado con solo conocer el de tres puntos, no situados en línea recta, de uno de los planos del haz y que se denomina plano director. Puesto que el vector ω es perpendicular al plano director, la velocidad mínima v_m, es nula, y el movimiento instantáneo se reduce en el eje instantáneo de rotación a un movimiento de rotación pura, sin traslación, alrededor de un eje perpendicular al plano director. La velocidad y la aceleración instantáneas de un punto cualquiera se obtienen a partir de las de otro punto A mediante las ecuaciones… El punto de intersección del eje instantáneo de rotación con el plano director, se denomina CIR y es el único punto que en cada instante tiene velocidad nula.

Movimiento del CIR

Sean B y R la base y la ruleta del movimiento, ambas en el mismo lado de la tangente común, y cuyo CIR es I en el instante t. Transcurrido el tiempo ΔT, los puntos en contacto de B y R serán I₁ en la base e I₂ en la ruleta, de modo que los arcos II₁ e II₂ son iguales ya que pasa de I a I₁ e I₂ por medio de rotaciones elementales instantáneas continuas sin deslizamiento. Por tanto, el CIR recorre la base y la ruleta con la misma velocidad ω*, denominada velocidad propia del CIR o también velocidad de sucesión del CIR, la cual está definida por ω*=lim II*/ΔT. Esta velocidad cuya dirección es la de la tangente común a B y R en el CIR, no es la del CIR, que es nula en cada instante, sino la de un punto ficticio que recorre la base. Deduciendo la fórmula ω=ωR_bR_r/R_b-R_r. Si la base y la ruleta se encuentran a distinto lado de la tangente común: ω=ωR_bR_r/R_b+R_r

Aceleración del CIR

Sean B y R la base y la ruleta del movimiento. En el instante t, el CIR es I, punto de tangencia de base y ruleta en dicho instante y la velocidad angular es ω*. El punto I tiene velocidad nula en el instante t por ser el CIR, pero su aceleración es distinta de cero ya que en el instante t+ΔT, ha pasado a la posición I’’, siendo en dicho instante el CIR el punto I’ y su velocidad no es nula. Por tanto, v_I’ =0    v_I’’=ω*’xI’I’’* donde ω*’ es la velocidad de rotación instantánea alrededor de un eje que pasa por I’ y es normal al plano de movimiento. Por tanto, la aceleración del CIR está dada por a*_i=ω*xω*. Su módulo es ωω, tiene como dirección la normal común a la base y a la ruleta, y sentido hacia la ruleta.

Circunferencia de Inversiones e Inflexiones

Sean B y R la base y ruleta del movimiento y un sistema de coordenadas polares, de polo el CIR I y eje polar la tangente común a B y R en el que las coordenadas de un punto P son r y θ. La aceleración de un punto P, teniendo en cuenta el CIR es a_p=a_I +ω²porPI +αxIP. Proyectando a_p sobre la tangente y la normal a la trayectoria de P, cuyos vectores unitarios respectivos son t y n, el sentido de t está obligado por el de ω*, y teniendo en cuenta que a_I=ωxω, se obtienen las componentes tangencial y normal de la aceleración de P.

La circunferencia de inversiones es el lugar geométrico de los puntos del plano móvil que en un determinado instante tienen nula la componente tangencial de la aceleración. Al ser en estos puntos dv/dt=0, el módulo de la velocidad pasa por un valor extremo. Por tanto, αr+ωωcosθ=0 (despeja r) que es la ecuación de una circunferencia. La circunferencia de inversiones y ω*, se hallan en el mismo lado de la normal común a la base y la ruleta en el caso de que ω* y ω* tengan el mismo sentido, y degenera en una recta, la normal común, en los instantes en que se anula ω.

La circunferencia de inflexiones es el lugar geométrico de los puntos del plano móvil que en un determinado instante tienen nula la componente normal de la aceleración. Al no ser nula la velocidad en estos puntos, el radio de curvatura en ellos es infinito, por lo que las trayectorias de los diferentes puntos del plano móvil tienen en la circunferencia de inflexiones un punto de inflexión. Por tanto, ω²r-ωωsenθ=0 y se obtiene r. La circunferencia de inflexiones está situada siempre en el mismo lado de la tangente T que la ruleta. Las circunferencias de i e i se cortan en los puntos I y J. El punto J es el centro instantáneo de aceleraciones ya que las componentes normal y tangencial de la aceleración son nulas. El punto I= CIR tiene aceleración distinta de cero.

Geometría de Masas

Geometría de Masas

Sea un sistema de puntos materiales P₁,P₂…de masas m₁,m₂… y cuyos vectores de posición respecto de un punto O son r₁,r₂…Se define el centro del sistema de masas C del sistema de puntos materiales como el punto respecto del cual se verifica que (∑ⁿ₁) m_iCP_i=0 como CP= r_i – r_c se obtiene (∑ⁿ₁m_ir_i)–(∑ⁿ₁m_i)r_c= 0, despejando r_c…(1). La expresión (1) da el vector de posición del centro de masas de la distribución respecto del punto O. El centro de masas es único. Si se considera un triedro cartesiano ortogonal con origen en el punto O, las coordenadas del centro de masas son x_c=Sumatorio (m_ix_i)/sumatorio (m_i), y_c y z_c. Si la distribución es continua se tiene r_c=integral(rdm)/integral (dm) en vez de (1) y para las coordenadas las siguientes expresiones x_c=integral (xdm)/integral(dm), y_c y z_c. Las integrales son de línea, de superficie y de volumen si el sistema material es lineal, superficial y volumétrico respectivamente. Para sistemas de puntos materiales, continuos o no, que presenten simetría, el centro de masas se halla en el elemento de simetría correspondiente, punto, recta o plano (Arquímedes). Para sistemas de puntos materiales, continuos o no, constituidos por diferentes partes de las que se conocen las posiciones de sus respectivos centros de masas, según el principio de descomposición, el centro de masas del sistema se obtiene como si fuera un sistema de puntos materiales, cuyas masas son las de cada una de las partes situadas en sus respectivos centros de masas.

Teoremas de Pappus-Guldin

1. El área de una superficie de revolución es igual a la longitud de la curva generatriz multiplicada por la distancia recorrida por el centro de gravedad de la curva que engendra la superficie. Ejemplo: posición del centro de masas de una semicircunferencia. S=L2πy_g     4πr²=πr x 2πy_g   y_g=2r/π
2. El volumen de un sólido de revolución es igual al área generatriz multiplicada por la distancia recorrida por el centro de gravedad de la superficie que engendra el sólido. Ejemplo: posición del c.d.m de un semicírculo. V=S2πy_g     4πr³/3 =πr²/2 x 2πy_g       y_g=4r/3π

Movimiento General

En general, la velocidad mínima de los puntos de un sólido en movimiento general en el espacio no tiene por qué ser nula. Solo lo será cuando se cumpla Ωporv_o =0, en cuyo caso se dice que el movimiento es una rotación. Los puntos de mínima velocidad forman una recta paralela a Ω y responden a la ecuación p=Ωxv_o/Ω² +αΩ y la velocidad mínima es a su vez paralela a Ω, con lo que se puede expresar como v_min=λΩ. La velocidad de cualquier punto se puede expresar como v= λΩ +Ωxp donde además de la velocidad mínima se le suma otra perpendicular a ella, con lo que es mayor en módulo. Por otro lado, el campo de velocidades es equiproyectivo, ya que si proyecto la velocidad de dos puntos A y B cualesquiera sobre la recta que los une, siempre da lo mismo.

Cinemática del Sólido Rígido. Traslación y Rotación.

Cinemática del Sólido Rígido. Traslación y Rotación. Dibujar Cono

El movimiento de traslación se caracteriza porque las velocidades de todos los puntos del sólido rígido son vectores iguales, quedando determinado por la velocidad de uno de ellos, que se denomina vector traslación. Las trayectorias descritas por todos los puntos del sólido rígido son iguales y los vectores son equipolentes. El movimiento de rotación se caracteriza porque permanecen fijos dos puntos del sólido rígido y con ellos los de la recta que los une. Sean A y B los dos puntos fijos y C un tercero situado sobre la recta AB. Por hipótesis, en la rotación A y B no cambian de posición. Si C pasase a C’, fuera de la recta AB, iría en contra de la hipótesis de indeformabilidad. La rotación alrededor del eje está determinada por medio del vector deslizante velocidad angular ω o vector rotación. Módulo: ω=dθ/dt, dirección la del eje de rotación y sentido el de avance de un tornillo dextrógiro al girar en el sentido de movimiento. Se caracteriza porque la velocidad mínima, la de los puntos del Eje Instantáneo de Rotación es nula, pero no así la velocidad angular del sólido. Traslación + Rotación. Se caracteriza porque no existen puntos del sólido de velocidad nula. Según el teorema de Chasles, el movimiento general del sólido se puede descomponer en la suma de una traslación más una rotación.

Sólido en Contacto con Superficie

Sea un sólido rígido, móvil sobre una superficie fija, con la que mantiene un punto de contacto que varía con el tiempo. El movimiento del sólido rígido en el punto de contacto está determinado por el vector traslación instantánea v_p y por el vector de rotación instantánea ω. La velocidad instantánea v_p del punto de contacto, ha de estar contenida en el plano tangente para que no exista penetración entre las superficies en contacto, en contra de la hipótesis de rigidez del sólido y de la superficie. La velocidad instantánea v_p del punto de contacto se llama velocidad de deslizamiento. La velocidad angular instantánea ω puede descomponerse según el plano y la normal. ω=ω_r + ω_p. A ω_p se le llama componente de pivotamiento y a ω_r componente de rodadura. Si el sólido desliza, el vector traslación v_p no es nulo y el punto de contacto no pertenece al eje instantáneo de rotación, salvo que v_p sea colineal con ω para lo cual es preciso que no exista pivotamiento. Si el sólido no desliza, el vector traslación v_p es nulo y el punto de contacto pertenece al eje instantáneo de rotación. El movimiento es de rotación alrededor de un eje que pasa por el punto de contacto, y al no existir pivotamiento, es de rodadura pura.