Cinemática de Fluidos y Ecuaciones de Conservación: Aplicación Integral a Volúmenes de Control

Cinemática

Formas de Representar el Campo Fluido

1. Descripción Euleriana: Se fija un punto en el campo fluido y se observan las partículas fluidas que pasan por él.
2. Descripción Lagrangiana: Se fija una porción del fluido (masa, m = cte) y se observa su movimiento (posición = centro de gravedad).

Descripción del Campo de Velocidad

El campo de velocidad se representa como un vector dependiente de la posición y el tiempo:

V = V_x(x, y, z, t) i + V_y(x, y, z, t) j + V_z(x, y, z, t) k

Casos Especiales del Campo de Velocidad

• Estacionario: La velocidad no depende del tiempo.

  V = V_x(x, y, z) i + V_y(x, y, z) j + V_z(x, y, z) k

• Uniforme: La velocidad no depende de la posición.

  V = V_x(t) i + V_y(t) j + V_z(t) k

• Plano (General): El movimiento ocurre en un plano, pero puede depender de las tres coordenadas espaciales y el tiempo.

  V = V_x(x, y, z, t) i + V_y(x, y, z, t) j

• Plano Bidimensional: La velocidad solo depende de dos coordenadas espaciales.

  V = V_x(x, y) i + V_y(x, y) j

• Axisimétrico: Se utiliza en coordenadas cilíndricas (r, z).

  V = V_r(r, z, t) e_r + V_z(r, z, t) e_z

Conceptos de Líneas de Flujo

Trayectoria

Conjunto de puntos que nos permiten ver dónde está cada partícula en cada instante de tiempo.

Senda

Curva que describe la partícula fluida en su movimiento.

Línea Fluida

Conjunto de partículas que en un instante de tiempo t forman una línea.

Línea de Corriente

Líneas tangentes al vector velocidad en un instante dado.

$$\frac{dx}{V_x} = \frac{dy}{V_y} = \frac{dz}{V_z}$$

Traza

Línea en la que están todas las partículas fluidas que en diferentes instantes pasan por el mismo punto.

Relaciones Integrales para un Volumen de Control

Flujo y Caudal

Caudal o Flujo Volumétrico (Q)

Q = V A

Caudal Másico (G)

G = ρ Q

Sistemas Fluidos frente a Volumen de Control

Para un sistema fluido, la masa es constante: dM_sistema/dt = 0

Leyes de Conservación Fundamentales

Conservación de Cantidad de Movimiento (Segunda Ley de Newton)

M_sistema · a = ΣF

M_sistema · dV/dt = ΣF

d(M_sistema · V)/dt = ΣF

Conservación de la Energía (Primer Principio de la Termodinámica)

dE = dQ ± dW

dE/dt = ˙Q + ˙W (Donde ˙Q y ˙W representan tasas de transferencia de calor y trabajo, respectivamente).

Teorema del Transporte de Reynolds

Este teorema convierte las ecuaciones de un sistema a ecuaciones de volúmenes de control.

Ecuación Integral de Conservación de la Masa

$$\frac{d}{dt} \iiint_{VC} (\rho \, dV) + \iint_{SC} (\rho (\mathbf{V}_r \cdot \mathbf{n}) \, dS) = 0$$

1. Variación temporal de la masa dentro del Volumen de Control (V.C).
2. Flujo neto de masa a través de la Superficie de Control (S.C).

Ecuación de Conservación de las Especies

$$\frac{d}{dt} \iiint_{VC} (\rho y_i \, dV) + \iint_{SC} (\rho y_i (\mathbf{V}_r \cdot \mathbf{n}) \, dS) = \iiint_{VC}(W_i \, dV) + \iint_{SC} (\rho D_i \nabla y_i \cdot \mathbf{n} \, dS)$$

Ecuación Integral de Conservación de Cantidad de Movimiento

$$\frac{d}{dt} \iiint_{VC} (\rho \mathbf{V} \, dV) + \iint_{SC} (\rho \mathbf{V} (\mathbf{V}_r \cdot \mathbf{n}) \, dS) = \sum \mathbf{F}_{VC+SC}$$

Ecuación Integral de Conservación de la Energía

$$\frac{d}{dt} \iiint_{VC} (\rho (e + \frac{V^2}{2}) \, dV) = \iiint_{VC} (\mathbf{f}_m \cdot \mathbf{V} \rho \, dV) + \iint_{SC} (\mathbf{n} \cdot \mathbf{T} \cdot \mathbf{V} \, dS) - \iint_{SC}(\mathbf{q} \cdot \mathbf{n} \, dS) + \iiint_{VC}((Q_q + Q_r) \, dV)$$

Términos de la Ecuación de Energía

1. Variación temporal de la energía total en el Volumen Fluido (Vf).
2. Trabajo por unidad de tiempo de la resultante de las fuerzas másicas en Vf.
3. Trabajo por unidad de tiempo de la resultante de las fuerzas de superficie sobre la Superficie Fluida (Sf).
4. Calor por unidad de tiempo intercambiado a través de la Sf por conducción.
5. Calor por unidad de tiempo generado por radiación y reacción química en Vf.

Para Volumen de Control (V.C.)

Se añade a la izquierda el término de flujo neto de energía total:

$$+\iint_{SC}(\rho (e + \frac{V^2}{2}) (\mathbf{V}_r \cdot \mathbf{n}) \, dS)$$

Balances de Energía

Balance de Energía para un Volumen de Control

$$\frac{d}{dt} \iiint_{VC} (\rho (e + \frac{V^2}{2}) \, dV) + \iint_{SC}(\rho (e + \frac{V^2}{2}) (\mathbf{V}_r \cdot \mathbf{n}) \, dS) = \iiint_{VC} (\mathbf{f}_m \cdot \mathbf{V} \rho \, dV) + \iint_{SC} (\mathbf{n} \cdot \mathbf{T} \cdot \mathbf{V} \, dS) - \iint_{SC}(\mathbf{q} \cdot \mathbf{n} \, dS) + \iiint_{VC}((Q_q + Q_r) \, dV)$$

Simplificación para Flujo Estacionario (Términos de Entrada/Salida)

1. El término de variación temporal se anula (1º término = 0).
2. Flujo neto de energía total (término de superficie):
   $$\sum_i (G_i (e + \frac{V^2}{2} + \frac{P}{\rho})_i)_{salida} - \sum_j (G_j (e + \frac{V^2}{2} + \frac{P}{\rho})_j)_{entrada}$$
3. Trabajo de presión (asumiendo propiedades uniformes en la superficie):
   $$P_e A_e V_e - P_s A_s V_s$$
4. Calor neto intercambiado: $Q$

El balance energético simplificado queda:

$$\sum_i (G_i (e + \frac{V^2}{2} + \frac{P}{\rho})_i)_{salida} - \sum_j (G_j (e + \frac{V^2}{2} + \frac{P}{\rho})_j)_{entrada} = \dot{W} + \dot{Q}$$

Dividiendo por el caudal másico $G$ (si es constante) y usando la entalpía $h = e + P/\rho$:

$$(h + \frac{V^2}{2})_{salida} - (h + \frac{V^2}{2})_{entrada} = \frac{\dot{W}}{G} + \frac{\dot{Q}}{G}$$

Balance Energético para Máquina Hidráulica

e_s - e_e = (Q/G) - (W_v/G)

Balance de Energía Mecánica para una Máquina Hidráulica

$$(\frac{P}{\rho} + \frac{V^2}{2} + gz)_{salida} - (\frac{P}{\rho} + \frac{V^2}{2} + gz)_{entrada} = \frac{\dot{W}}{G} + \frac{\dot{Q}}{G}$$