Centro de masa, momento cinético y tensores de inercia en sólidos rígidos: conceptos y fórmulas

Centro de masa y momento de inercia

Del centro de masa de un sólido rígido: punto respecto al cual, para cada dirección, corresponde un momento de inercia mínimo.

Condición de equilibrio bajo tres fuerzas

Para que un sólido rígido esté en equilibrio bajo la acción de tres fuerzas:

• Las fuerzas deben ser coplanares, o la resultante vectorial debe ser nula.

Teorema de Pappus y superficies

Posición del centro de masa de una superficie semiesférica: no se puede calcular mediante el teorema de Pappus-Guldinus, ya que la superficie no es plana. Por tanto, el teorema a emplear en este caso es: ninguno (superficie no plana).

Rectas, direcciones y centro de masa

Si tenemos un sólido rígido, una dirección u y una recta paralela a u, podemos afirmar:

• Es un mínimo si la recta r pasa por el centro de masa.

Momento cinético y teorema aplicado en un punto genérico

Expresión general del teorema del momento cinético aplicado en un punto genérico A de un sólido rígido de masa m:

d/dt L^A_R = Σ M^A + m v_R(G) × v_R(A)

El momento cinético respecto de un punto genérico A de un sólido rígido de masa m puede calcularse como:

L^A_R = Θ + AG × m v_R(G)

Simetría y productos de inercia

Un sólido plano posee un plano de simetría que contiene los ejes x e y y pasa por el centro de masas: se puede afirmar que los productos de inercia xz y yz respecto de G son nulos.

Fuerzas de enlace

De las fuerzas de enlace entre dos sólidos rígidos se puede decir que: son consecuencia de la impenetrabilidad de los sólidos rígidos.

Simetría respecto al plano XY y ejes principales

Sea un sólido rígido cuya distribución de masas es simétrica respecto del plano XY que contiene su centro de gravedad: respecto al tensor de inercia en G, el eje Z es un eje principal de inercia.

R

Posee únicamente componente z distinta de 0.

sobre una recta que une a y c y entre b y c

Todas sus componentes son nulas.

Posee las siguientes componentes no nulas: I(11) = 1/2 · m · a^2, I(22) = I(33) = 7/4 · m · a^2.

Caso: coche

Coche: |L(0)| = m v (h - r)

(0,0,F3) (0,M2,M3) M2 = F3 · x

Casos diversos

• 2º Tobogán: (0,F2,F3) (0,0,0)
• 3º Medio círculo: 45° — e · m r^2 / 4
• 4º Cuarto de círculo (radio): distancia = 2R/π; resultado = 2·√2·R/π
• 5º Triángulo hacia abajo: diagonal 2,2,4; el resto 0
• Disco raro: L_r(D) = EOG × m v_R(G)
• Patín de hielo: F(0,f2,f3) m = (0,m2,m3)
• Estrella: I(1,1) = I(2,2) y además I(1,1) + I(2,2) = I(3,3)
• I_alfa: = I(1,1)
• Dos piezas amorfas s1 y s2 (normal): F(0,0,f3z) m = (0,0,0)
• Eje con una v Diagonal: 2,2,4 el resto

Rectángulo sobre eje: F(0,0,f3z) m = (m_x, m_y, 0)

Si utilizamos el punto B para calcular la energía cinética en vez de G => se hubiera obtenido un valor igual.

Si la distancia entre los puntos O y G es "h" el momento cinético del cilindro respecto del punto O, utilizando la base de ejes 1, 2, 3 será => [I11 ω, (I22 + m h^2) ω, 0]

W^2 * (I22 + I33) / 2

4π^2 R r

M r^2 (0, y/2, ángulo/4)

PEONZA: f = (0,0,f3) m = (0,0,0)

Torsor: si existe contacto superficial entre dos superficies lisas => f(f1,f2,f3) m(0,0,0)

Momento de inercia de una figura respecto al eje p-p'

Momento de inercia de la figura respecto al eje p-p' => con 60° = 5/16 · m · r^2; con 45° = m r^2 · 3 · √2 / 8.