Característiques Essencials de Funcions Matemàtiques

Funcions Trigonomètriques: Sinus, Cosinus i Tangent

Funció Sinus: $f(x) = \sin x$

• Domini: Està definida per a qualsevol valor real. $D = \mathbb{R}$.
• Recorregut: Com que $-1 \le \sin x \le 1$, el seu recorregut és $[-1, 1]$.
• Periodicitat: És una funció periòdica, amb període $2\pi$ radians: $\sin x = \sin(x + 2k\pi)$, amb $k \in \mathbb{Z}$.
• Màxims: Presenta màxims a $x = \pi/2 + 2k\pi$, amb $k \in \mathbb{Z}$.
• Simetria (Paritat): És una funció imparella, ja que $f(-x) = \sin(-x) = -\sin x = -f(x)$. És simètrica respecte de l'origen de coordenades.

Com que té període $2\pi$, es construeix una taula per a valors entre $0$ i $2\pi$, i es representa la funció, repetint l'interval a l'esquerra i a la dreta.

Funció Cosinus: $f(x) = \cos x$

• Domini: Està definida per a qualsevol valor real. $D = \mathbb{R}$.
• Recorregut: Com que $-1 \le \cos x \le 1$, el seu recorregut és $[-1, 1]$.
• Periodicitat: És una funció periòdica, amb període $2\pi$ radians: $\cos x = \cos(x + 2k\pi)$, amb $k \in \mathbb{Z}$.
• Extrems: Presenta màxims a $x = 2k\pi$ i mínims a $x = \pi + 2k\pi$, amb $k \in \mathbb{Z}$.
• Simetria (Paritat): És una funció parella, ja que $f(-x) = \cos(-x) = \cos x = f(x)$. És simètrica respecte de l'eix Y.

Com que té període $2\pi$, es construeix una taula per a valors entre $0$ i $2\pi$, i es representa la funció, repetint l'interval a l'esquerra i a la dreta.

Funció Tangent: $f(x) = \tan x$

• Domini: $D = \mathbb{R} - \{\pi/2 + k\pi\}$, ja que $\tan x$ no està definida si $\cos x = 0$.
• Recorregut: $R = \mathbb{R}$.
• Periodicitat: És periòdica, amb període $\pi$ radians.
• Monotonia: És sempre creixent en els intervals on està definida.
• Simetria (Paritat): És una funció imparella, ja que $f(-x) = \frac{\sin(-x)}{\cos(-x)} = \frac{-\sin x}{\cos x} = -\tan x = -f(x)$.

Funcions Racionals

Són aquelles funcions l'expressió algebraica de les quals és un quocient de polinomis: $f(x) = P(x)/Q(x)$, en què $Q(x)$ és un polinomi no nul.

Funció de Proporcionalitat Inversa: $f(x) = k/x$

És una funció racional l'expressió algebraica de la qual és del tipus $f(x) = k/x$, amb $k \ne 0$. La seva gràfica és una hipèrbola.

Característiques de la Proporcionalitat Inversa

• Domini: $D = \mathbb{R} - \{0\}$. No està definida a $x=0$. Diem que a $x=0$ hi ha una asímptota vertical.
• Asímptota Horitzontal: A mesura que els valors de $x$ creixen o decreixen, la funció s'acosta a $y=0$. Diem que a $y=0$ hi ha una asímptota horitzontal.
• La gràfica d'aquesta funció no talla els eixos de coordenades.
• Simetria: La funció és imparella, simètrica respecte de l'origen de coordenades.
• Monotonia i Quadrants:
  • Si $k > 0$, la funció és decreixent i la gràfica se situa al 1r i 3r quadrants.
  • Si $k < 0$, la funció és creixent i la gràfica se situa al 2n i 4t quadrants.

Funcions Exponencials

Són funcions del tipus $f(x) = a^x$, en què $a$ és un nombre real positiu ($a > 0$) i diferent d'1 ($a \ne 1$).

Característiques de la Funció $y = a^x$

• Domini: El domini d'una funció exponencial és $D = \mathbb{R}$.
• Recorregut: $R = (0, +\infty)$.
• Punts Clau:
  • Com que $a^0 = 1$, la funció sempre passa pel punt $(0, 1)$.
  • Com que $a^1 = a$, la funció sempre passa pel punt $(1, a)$.
• Monotonia:
  • Si $a > 1$, la funció és creixent.
  • Si $0 < a < 1$, la funció és decreixent.

Funcions Logarítmiques

Són funcions del tipus $f(x) = \log_a x$, en què $a$ és un nombre real positiu ($a > 0$) i diferent d'1 ($a \ne 1$).

Característiques de la Funció $y = \log_a x$

• Domini: El logaritme només existeix per a valors positius; per tant, el domini de la funció logarítmica és $D = (0, +\infty)$.
• Recorregut: $R = \mathbb{R}$ (o $(-\infty, +\infty)$).
• Punts Clau:
  • Com que $\log_a 1 = 0$, la funció sempre passa pel punt $(1, 0)$.
  • Com que $\log_a a = 1$, la funció sempre passa pel punt $(a, 1)$.
• Monotonia:
  • Si $a > 1$, la funció és creixent.
  • Si $0 < a < 1$, la funció és decreixent.