Capitalización Compuesta en Economía Financiera: Fundamentos, Fórmulas y Aplicaciones

Capitalización Compuesta

1. Cálculo del montante en capitalización compuesta

Consideramos que (1 + i)ⁿ es el factor de capitalización. En el caso de la capitalización compuesta, este sirve para trasladar capitales desde un momento dado a otro posterior.

Siendo (1 + i)^-n el factor de actualización en capitalización compuesta, este sirve para trasladar capitales desde un momento dado a otro anterior, es decir, para acercar traslaciones negativas de capitales.

2. Cálculo del interés en capitalización compuesta

Independientemente del régimen de capitalización aplicado, se cumple que I = C_n - C₀. Si la aplicamos a la capitalización compuesta:

I = C₀ [(1 + i)ⁿ - 1]

3. Fraccionamiento del tanto

Consideramos el año dividido en k partes, y designamos al tanto correspondiente a cada k-ésimo como i_k. La correlación entre el tanto y el tiempo, de la que ya hablamos en capitalización simple, debe tenerse también en cuenta en la capitalización compuesta. Entonces, si el tanto es i_k y el tiempo n_k que dura la inversión también debemos expresarlo en k-ésimos, el número de periodos a considerar será n_k:

C_n = C₀ (1 + i_k)^n_k

4. Tanto nominal, j_k

El tanto nominal, j_k, se obtiene al multiplicar el tanto k-ésimal, i_k, por el número de k-ésimos, k, en el año: j_k = i_k · k. Este tanto también se denomina nominal, y sirve para nombrar o designar al tanto k-ésimal i_k.

El tanto nominal j_k puede expresarse, indistintamente, como tanto nominal convertible, acumulable o capitalizable k veces al año.

Partiendo de j_k = i_k · k, solamente cuando k = 1 coincidirán el tanto nominal y el tanto efectivo anual. Para los demás valores de k que pueda tomar, j_k será distinto de i.

5. Equivalencia de capitales en capitalización compuesta

Como ya hemos comentado anteriormente, dos capitales que tienen distinta cuantía y distinto vencimiento serán equivalentes en un momento —llamado época— si, valorados en ese momento, son iguales.

Para conseguirlo, y como estamos en capitalización compuesta, aplicaremos el factor (1 + i)^p, siendo p el tiempo de diferencia que hay entre la época y el vencimiento del capital que queremos trasladar.

6. Aplicaciones de la capitalización compuesta

6.1. Amortización de préstamos

La condición de equilibrio financiero de un préstamo exige:

Valor del préstamo = Valor actual de los pagos que lo amortizan, valorados al tanto i

6.2. Constitución de un capital

Una operación de constitución implica ir dejando en un fondo cantidades para que, al cabo de un tiempo, se pueda disponer del capital constituido.

Llamaremos capital constituido al valor final que se obtiene de esas imposiciones o depósitos que se van realizando en el fondo:

C_constituido = suma del valor final de las aportaciones, valoradas en n al tanto i

6.3. Cálculo de la TAE en la operación financiera

a) TAE equivalente a un tanto nominal

En aquellas operaciones que se contratan a un tanto nominal j_k capitalizable, convertible o acumulable en periodos k-ésimales, la TAE será el tanto anual i equivalente al tanto nominal.

b) Tasa Anual Efectiva de Coste (TAEC) de la operación financiera

Las operaciones de activo, como aquellas en las que el banco presta a los particulares o a las empresas, exigen al prestatario la devolución del capital y el pago de intereses del préstamo. Sin embargo, generalmente, la operación lleva aparejados otros gastos, como pueden ser la comisión de estudio que exige el banco para ver si interesa concederle el préstamo, la comisión de apertura, etc.