Campos de Velocidad y Aceleración en Fluidos: Semejanza Geométrica, Cinemática y Dinámica

Campos de Velocidad y Aceleración en Fluidos

Al utilizar el campo de velocidad, será necesario utilizar el punto de vista Lagrangiano. Al notar que X, Y, Z son funciones de tiempo, puede establecerse el campo de aceleraciones empleando la regla de la cadena para la derivada en la siguiente forma:

Como x, y, z son las coordenadas de cualquier partícula, es claro que determinan las coordenadas escalares de la velocidad de cualquier partícula y, por consiguiente, pueden denominarse V_x, V_y, V_z.

Aceleración en Función del Campo de Velocidad

Las tres ecuaciones escalares que corresponden a la ecuación anterior en las tres direcciones de coordenadas cartesianas son:

La aceleración a de cualquier partícula está dada en función del campo de velocidad, de las derivadas parciales espaciales y de la derivada temporal parcial de V. Pero V es una función de x, y, z, t. Luego, la aceleración está dada en función de x, y, z, t y, por consiguiente, también es una variable de campo. La aceleración de partículas de un fluido en un campo de flujo puede suponerse como la superposición de dos efectos:

1. En las expresiones del primer paréntesis, miembro derecho de las ecuaciones, la variable temporal explícita t se mantiene constante. En estas expresiones, para determinado tiempo t, se supone que el campo se convierte en permanente y continúa siéndolo. En tales circunstancias, la partícula está en el proceso de cambiar de posición en este campo permanente, lo que experimenta un cambio de velocidad debido a que la velocidad en diferentes posiciones de este campo será, en general, diferente en cualquier tiempo t. Esta tasa temporal se conoce aproximadamente como aceleración de transporte y aceleración convectiva.

Homogeneidad Dimensional y Tipos de Semejanza

Lo que hemos aprendido acerca de la homogeneidad dimensional se resume en los dos métodos, el producto de potencias y el teorema Pi, para llevar una relación físicamente homogénea a su forma adimensional. Las condiciones del flujo para un modelo de ensayo son completamente semejantes a las del prototipo si los valores correspondientes al modelo y prototipo coinciden para todos los parámetros adimensionales. Existen varios tipos de semejanzas, y las más comunes son:

Semejanza Geométrica

Se refiere a la dimensión (L) y debe asegurarse que se cumple antes de proceder a los ensayos con cualquier modelo. Una definición formal es la siguiente: Un modelo y un prototipo son geométricamente semejantes si, y solo si, todas las dimensiones espaciales en las tres coordenadas tienen la misma relación escalar lineal. Todas las longitudes deben estar referenciadas a la misma escala. También los puntos homólogos estarán relacionados por la misma relación de escala lineal. Se requiere que todos los ángulos se conserven. La orientación debe ser idéntica.

Semejanza Cinemática

Exige que todas las relaciones entre longitudes homólogas del modelo y prototipo tengan el mismo valor (relación de escala de longitudes) y también que todas las relaciones entre tiempos homólogos tengan un valor común (relación de escala de tiempos). Entonces, habrá una relación de escala de velocidades. Los movimientos de dos sistemas son cinemáticamente semejantes si partículas homólogas alcanzan puntos homólogos en instantes homólogos. Si medimos la velocidad en un punto p del modelo y en otro punto p del prototipo, han de ser vectores de igual dirección y sentido.

Semejanza Dinámica

Cuando el modelo y el prototipo tienen la misma relación de escala de longitudes, tiempos y de fuerzas. De nuevo, la semejanza geométrica es el primer requisito. La semejanza dinámica existe simultáneamente con la semejanza cinemática si todas las fuerzas en el modelo y el prototipo guardan proporción.