Càlculs d'Interès Compost: Exercicis Resolts i Fórmules Clau

Càlculs d'Interès Compost: Exercicis Resolts

Exercici 1: Càlcul de Capital Final i Interès Total

1) En Manel Lorente compra participacions d'un fons d'inversió per valor de 10.000 €, l'administratiu de l'oficina bancària li diu que si manté la inversió tres anys se li garanteix un 4% efectiu anual. Quin import final obtindrà al cap dels tres anys? Quin interès total haurà obtingut?

Solució:

Fórmula del Capital Final (CN): 𝑪𝑵 = 𝑪𝑶 × (𝟏 + 𝒊)^𝑵

CN = 10.000 × (1 + 0,04)³

CN = 11.248,64 €

Fórmula de l'Interès (I): 𝑰 = 𝑪𝑵 − 𝑪𝑶

I = 11.248,64 - 10.000

I = 1.248,64 €

Exercici 2: Càlcul del Capital Inicial

2) En Ramon Berenguer és director d'una oficina bancària i desitja saber amb quants diners va obrir un client un dipòsit a termini fix al 3% efectiu anual si després de 5 anys li ha produït un import de 23.185,48 €.

Solució:

Fórmula del Capital Final (CN): 𝑪𝑵 = 𝑪𝑶 × (𝟏 + 𝒊)^𝑵

23.185,48 = CO × (1 + 0,03)⁵

CO = 23.185,48 / (1 + 0,03)⁵

CO = 23.185,4

Exercici 3: Determinació del Tipus d'Interès

3) Un inversor ha recuperat d'una operació financera 15.000 € després d'haver-la iniciat amb 12.000 €. Si la inversió va durar cinc anys, quin tipus d'interès es va pactar en l'operació?

Dades: CO = 12.000 €, CN = 15.000 €, N = 5 anys

Solució:

Fórmula del Tipus d'Interès (i): 𝒊 = (𝑪𝑵/𝑪𝑶)^(𝟏/𝒏) − 𝟏

i = (15.000 / 12.000)^(1/5) – 1

i = 0,045639

Exercici 4: Càlcul de la Durada de l'Operació

4) Sabem que una operació financera es va pactar al 2% d'interès efectiu mensual. Si va produir un import de 15.000 € amb un capital inicial de 10.000 €, quant va durar l'operació? (Calcular en mesos.)

Solució:

Fórmula de la Durada (n): 𝒏 = 𝒍𝒐𝒈(𝑪𝑵/𝑪𝑶) / 𝒍𝒐𝒈 (𝟏 + 𝒊)

N = log(1,5) / log(1,02)

N = 20,47 mesos

Exercici 5: Capital Final amb Període No Enter

5) Calcular l'import final que s'obtindrà al 4% d'interès efectiu anual amb una inversió de 20.000 € durant 890 dies (usar tants equivalents). Any civil.

Solució:

Fórmula del Capital Final (CN): 𝑪𝑵 = 𝑪𝑶 × (𝟏 + 𝒊)^𝑵

N = 890 / 365 = 2,438356164 anys

CN = 20.000 × (1 + 0,04)^2,438356164

CN = 22.007,13 €

Exercici 6: Càlcul del Capital Inicial amb Taxa Equivalent

6) Calcula el capital inicial d'una operació que va durar quatre trimestres al 5% d'efectiu anual si va produir un import de 12.000 €. (Fer càlculs en semestres i usant tant d'equivalent semestral.)

Solució:

Fórmula per a la Taxa Efectiva Semestral (i):

i = (1 + TAE)^1/m - 1

TAE = 0,05

m = 2 (semestral)

i = (1 + 0,05)^1/2 – 1

i = 0,024695076 = 2,469507%

Fórmula del Capital Inicial (CO): 𝑪𝑶 = 𝑪𝑵 / (𝟏 + 𝒊)^𝑵

CO = 12.000 / (1 + 0,024695)²

CO = 12.000 / 1,0499999

CO = 11.428,57 €

Exercici 7: Comparació d'Opcions d'Inversió

7) La Maria Fernández ha de triar entre dues opcions d'inversió per als seus 20.000 € estalviats. La primera li proporciona 22.000 € als dinou mesos, la segona una rendibilitat semestral del 1,5%. Quina opció triarà?

• CO = 20.000 €
• CN = 22.000 €
• N = 19 mesos / 12 mesos = 1,583 anys

Solució:

Opció 1: Càlcul de la Taxa Anual Efectiva (TAE)

Fórmula del Tipus d'Interès (i): 𝒊 = (𝑪𝑵/𝑪𝑶)^𝟏/𝒏 − 𝟏

i = (22.000 / 20.000)^1/1,5833 − 1

i = 0,0620459

i = 6,20 %

Opció 2: Càlcul de la Taxa Anual Efectiva (TAE)

• J = 1,5% (taxa semestral)
• m = 2 (semestral)

Fórmula de la Taxa Anual Efectiva (TAE): 𝑻𝑨𝑬 = (𝟏 + 𝒊_semestral)^𝒎 − 𝟏

TAE = (1 + 0,015)² − 1

TAE = 0,030225

TAE = 3,0225 %

No cal dividir jm per m perquè ja és una taxa efectiva semestral. L'opció 1 és la millor, ja que ofereix un tipus d'interès anual més alt (6,20%).

Exercici 8: Comparació de Capitalitzacions

8) Calcular l'import final que produeixen 10.000 €:

Solució:

a) Al 2% semestral durant 2 anys.

• Semestral = 2
• N = 2 semestres/any × 2 anys = 4 semestres

Fórmula del Capital Final (CN): 𝑪𝑵 = 𝑪𝑶 × (𝟏 + 𝒊)^𝑵

CN = 10.000 × (1 + 0,02)⁴

CN = 10.824,32 €

b) Al 0,330589% mensual durant 2 anys.

• Mensual = 12
• N = 12 mesos/any × 2 anys = 24 mesos

Fórmula del Capital Final (CN): 𝑪𝑵 = 𝑪𝑶 × (𝟏 + 𝒊)^𝑵

CN = 10.000 × (1 + 0,00330589)²⁴

CN = 10.824,32 €

c) Anàlisi dels resultats i TAE equivalents

Els resultats són iguals perquè ambdues taxes representen el mateix tipus d'interès efectiu anual (TAE). Ambdues taxes generen la mateixa rendibilitat al llarg d'un any, només que es capitalitzen amb diferent freqüència (semestralment o mensualment).

TAE (2% semestral) = (1 + 0,02)² – 1

TAE = 0,0404 = 4,04 %

TAE (0,330589% mensual) = (1 + 0,00330589)¹² – 1

TAE = 0,0404 = 4,04 %

Exercici 9: Equivalència de Taxes d'Interès

9) Produeix el mateix import final en capitalització composta el 12% efectiu anual que l'1% efectiu mensual? Quin és el seu punt equivalent mensual?

Solució:

Fórmula de la Taxa Mensual Equivalent (i_m): 𝒊_𝒎 = (𝟏 + 𝒊)^(𝟏/𝒎) − 𝟏

i = (1 + 0,12)^1/12 - 1

i = 0,009488792

i = 0,9488 %

No, el 12% efectiu anual no produeix el mateix import que l'1% efectiu mensual. La taxa mensual equivalent al 12% efectiu anual és del 0,9488%.

Exercici 10: Comparació de Préstecs per TAE

10) En Pere acudeix a tres entitats financeres per a informar-se sobre el que li pot costar un préstec de 25.000 € amb devolució als dos anys i mig en un sol pagament. Quina opció triarà? Les entitats li donen la següent informació:

a) Entitat A: Taxa nominal anual del 12% capitalitzable semestralment.

b) Entitat B: Taxa nominal anual del 12% capitalitzable mensualment.

c) Entitat C: Taxa nominal anual del 12% capitalitzable trimestralment.

Solució:

Fórmula de la Taxa Anual Equivalent (TAE): 𝑻𝑨𝑬 = (𝟏 + 𝒋_𝒎/𝒎)^𝒎 − 𝟏

TAE (Entitat A) = (1 + 0,12/2)² - 1

TAE = 0,1236 = 12,36 %

TAE (Entitat B) = (1 + 0,12/12)¹² - 1

TAE = 0,1268 = 12,68 %

TAE (Entitat C) = (1 + 0,12/4)⁴ - 1

TAE = 0,1255 = 12,55 %

L'Entitat A té la TAE més baixa (12,36%), la qual cosa la converteix en l'opció més avantatjosa per al Pere, ja que el cost del préstec serà menor.

Exercici 11: Rendibilitat d'Operacions Financeres

11) Què és més rendible, una operació al 2% d'interès efectiu semestral o una al 4% de nominal anual capitalitzable mensualment?

Solució: Per comparar la rendibilitat, calcularem la Taxa Anual Efectiva (TAE) de cada opció.

Opció 1: 2% d'interès efectiu semestral

Fórmula de la TAE: i_anual = (1 + i_semestral)² – 1

i = (1 + 0,02)² - 1

i = 0,0404 = 4,04 %

Opció 2: 4% nominal anual capitalitzable mensualment

i_mensual = 0,04 / 12 = 0,00333333

Fórmula de la TAE: i_anual = (1 + i_mensual)¹² – 1

i = (1 + 0,00333333)¹² – 1

i = 0,0407415 = 4,07 %

La segona opció és més rendible, ja que la seva TAE és més alta (4,07% vs 4,04%).

Exercici 12: Temps per Triplicar un Capital

12) Calcular el temps que ha de durar una operació financera al 7% efectiu anual perquè es tripliqui un capital.

Dades: CN = 3 × CO, i = 0,07

Solució:

Fórmula del Capital Final (CN): 𝑪𝑵 = 𝑪𝑶 × (𝟏 + 𝒊)^𝑵

3 × CO = CO × (1 + 0,07)^N

3 = 1,07^N

Fórmula de la Durada (n): 𝒏 = 𝒍𝒐𝒈(𝑪𝑵/𝑪𝑶) / 𝒍𝒐𝒈 (𝟏 + 𝒊)

n = log(3) / log(1,07)

n = 16,2375

n = 16,24 anys