Cálculos Fundamentales de la Relatividad y Gravitación: Energía, Masa y Distancia

Física Relativista y Gravitación: Problemas Resueltos

A continuación, se presentan diversos problemas fundamentales de la física, abarcando la teoría de la relatividad especial y la ley de gravitación universal, con sus respectivos cálculos detallados.

1. Equivalencia Masa-Energía ($E=mc^2$)

Cálculo de Energía Liberada por Uranio

Se tienen $40 \text{ g}$ de uranio, de los cuales el $80\%$ se convierte en energía. Calcule la energía liberada.

Datos y Fórmulas:

• Masa inicial ($m_0$): $40 \text{ g}$
• Masa convertida ($m$): $32 \text{ g}$ ($80\%$ de $40 \text{ g}$)
• Velocidad de la luz ($C$): $3 \times 10^8 \text{ m/s}$ (o $3 \times 10^{10} \text{ cm/s}$)
• Fórmula: $E = mc^2$

Cálculo (utilizando unidades CGS para obtener Ergios):

$E = mc^2 = (32 \text{ g}) \times (3 \times 10^{10} \text{ cm/s})^2$

$E = 2.88 \times 10^{22} \text{ Ergios}$

Determinación de la Masa Utilizada en la Bomba del Zar

La Bomba del Zar, probada por la Unión Soviética y detonada el 30 de octubre de 1961, fue una bomba termonuclear con un poder de $50 \text{ megatones}$ (Mt), la más grande que ha existido. ¿Cuál sería la masa utilizada para generar dicha energía?

Datos y Fórmulas:

• Energía ($E$): $50 \text{ Mt}$
• Fórmula: $m = E/c^2$

2. Relatividad Especial: Contracción de Longitud y Masa Relativista

Contracción de Longitud Relativista

Dos estaciones espaciales se encuentran a una distancia de $200,000 \text{ km}$. ¿Cuál será la distancia que percibe el piloto de una nave que viaja de una estación a otra con una rapidez constante de $180,000 \text{ km/s}$?

Datos y Fórmulas:

• Longitud propia ($L$): $200,000 \text{ km}$
• Longitud relativista ($L_R$): ?
• Velocidad de la nave ($V$): $180,000 \text{ km/s}$
• Velocidad de la luz ($C$): $300,000 \text{ km/s}$
• Fórmula de Contracción de Longitud: $L_R = L \sqrt{1 - (V/C)^2}$

1.) Sustitución

2.) Cálculo

$L_R = 160,000 \text{ km}$

Cálculo de Masa Relativista

Se fabrica un sólido de $230,000 \text{ kg}$ de masa en reposo. Luego, se lanza al espacio y se le induce para que adquiera una velocidad de $180,000 \text{ km/s}$. Determine la masa del sólido cuando este se encuentre moviéndose a la velocidad indicada.

Datos y Fórmulas:

• Masa en reposo ($m_0$): $230,000 \text{ kg}$
• Velocidad ($v$): $180,000 \text{ km/s}$
• Masa relativista ($m_r$): ?
• Velocidad de la luz ($c$): $300,000 \text{ km/s}$
• Fórmula de Masa Relativista: $m_r = \frac{m_0}{\sqrt{1 - (v/c)^2}}$

=

3. Ley de Gravitación Universal

Fuerza de Atracción Gravitacional entre Electrón y Protón

En un átomo de hidrógeno, las masas del electrón y del protón son respectivamente, y se encuentran separados a una distancia de . ¿Cuál será la fuerza de atracción gravitacional entre ellos?

Datos y Fórmulas:

• Fórmula de Gravitación Universal: $F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$

Aceleración de la Gravedad en la Superficie Terrestre ($g$)

Se ha establecido que el peso de un cuerpo es igual a la atracción gravitacional que ejerce la Tierra sobre todos los objetos que se encuentran en su cercanía. Considerando una masa ($m$) cualquiera, calcule la aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra.

Datos y Fórmulas:

• Igualdad fundamental: Peso ($P$) = Fuerza Gravitacional ($F_g$)
• $m \cdot g = G \frac{M_T \cdot m}{R_T^2}$
• Fórmula resultante: $g = G \frac{M_T}{R_T^2}$

Aceleración de la Gravedad a una Altitud Específica

Calcular la aceleración debida a la gravedad de un cuerpo que se encuentra a $400 \text{ km}$ de la superficie de la Tierra.

Datos y Fórmulas:

• Fórmula: $g_h = G \frac{M_T}{(R_T + h)^2}$

4. Movimiento Orbital: Rapidez Tangencial y Periodo

Cálculos para un Satélite Geocéntrico

Un satélite se encuentra en una órbita geocéntrica (alrededor de la Tierra) a una altitud de $500 \text{ km}$ sobre la superficie terrestre.

1. ¿Cuál es la rapidez tangencial del satélite?
2. ¿Cuál es su periodo de revolución?