Cálculos Fundamentales de Electromagnetismo: Fuerza, Trayectoria y Energía de Partículas Cargadas

Cálculos Fundamentales en la Interacción de Partículas Cargadas con Campos Electromagnéticos

A continuación, se presentan los cálculos y razonamientos clave relacionados con el movimiento de partículas bajo la influencia de campos eléctricos ($\vec{E}$) y magnéticos ($\vec{B}$).

1. Desviación por Campo Eléctrico

Para evitar la desviación de una partícula al atravesar una región con campos:

• Condición de no desviación: $|F_b| = |F_e|$
• Sustituyendo: $q v B = q E$
• Velocidad requerida: $v = E / B = \dots \text{m/s}$

Donde se asume un campo eléctrico $E = AV/d = \dots \text{N/C}$ (con $AV=80\text{V}$ y $d=1\text{cm}$).

2. Trayectoria Circular en Campo Magnético

Si la relación masa/carga de la partícula describe una circunferencia de radio $R = 2\text{cm}$:

• Fuerza magnética como fuerza centrípeta: $F_m = qvB = m \frac{v}{R}$
• Relación masa/carga: $\frac{m}{q} = \frac{R B}{v} = \dots \text{kg/C}$

3. Cálculo de la Inducción Magnética ($\vec{B}$) en Puntos Específicos

Punto Medio ($B_p$)

La inducción magnética en el punto medio ($p$) entre dos conductores paralelos ($I_1$ e $I_2$):

$$B_p = B_1 + B_2 = \frac{\mu_0}{2\pi d} (I_1 + I_2) \hat{j} = \dots \text{T}$$

Punto $q$ (a $50\text{cm}$ de uno y $100\text{cm}$ del otro)

Si el punto $q$ está situado a $50\text{cm}$ de un conductor y $100\text{cm}$ del otro, y los campos tienen igual dirección pero sentido contrario:

$$B_q = B_2 - B_1 = -x \hat{j} = \dots \text{T}$$

4. Determinación del Sentido de la Fuerza Magnética ($\vec{F}$)

La fuerza magnética se determina mediante el producto vectorial $\vec{F} = q (\vec{v} \times \vec{B})$.

Caso 1: Velocidad paralela al Campo ($\vec{V} \parallel \vec{B}$)

• Si $\vec{V} \parallel \vec{B}$, el producto vectorial es nulo, $\sin(\alpha) = 0$.
• La fuerza es nula: $|F| = q v B \sin(\alpha) = 0$.
• La carga se mueve con Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU) en el sentido positivo del eje $X$.

Caso 2: Campo Magnético en sentido $-k$ o $-Z$

Si $\vec{B} = (0, 0, -B_z)$ y la velocidad es $\vec{V} = (V_x, 0, 0)$:

$$\vec{F} = q (\vec{V} \times \vec{B}) = q \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ V_x & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -B_z \end{vmatrix} = q (0 \hat{i} - (-V_x B_z) \hat{j} + 0 \hat{k})$$ $$\vec{F} = q V_x B_z \hat{j}$$

Si la carga es positiva ($q>0$), la fuerza va en el sentido positivo del eje $Y$ ($\hat{j}$). Si la carga es negativa (electrón), la fuerza iría en sentido $-j$. El enunciado indica que la carga se mueve en el sentido positivo del eje $X$ con MRU, lo cual es contradictorio con la fuerza resultante si $\vec{V} \parallel \vec{B}$ (Caso 1). Si se considera la fuerza $\vec{F} = -q V_x B_z \hat{j}$ (asumiendo que la carga es positiva y el campo es $-k$), la partícula se desviaría en $-j$. Si la carga se mueve en $+X$ y $\vec{B}$ en $-Z$, la fuerza es en $+Y$.

Caso 3: Velocidad paralela al conductor

Si la velocidad $\vec{V}$ es paralela al conductor que genera el campo:

$$|F| = e v \frac{\mu_0 I \sin(90^{\circ})}{2\pi d} = \dots \text{N}$$

Caso 4: Velocidad paralela a las direcciones de a) y b)

Si $\vec{V}$ es paralelo a las direcciones de los campos magnéticos considerados en a) y b), la fuerza es nula ya que $\alpha = 0^{\circ}$ o $\alpha = 180^{\circ}$, y $\sin(\alpha) = 0$.

Caso 5: Velocidad perpendicular al Campo ($\vec{V} \perp \vec{B}$)

Si $\vec{V} \perp \vec{B}$ (es decir, $\sin(90^{\circ}) = 1$):

$$|F| = qvB$$

La partícula sigue una trayectoria circular uniforme cuyo radio es: $R = \frac{m v}{q B}$.

5. Efectos en la Partícula

Partícula en Reposo

Si el protón abandonara el campo magnético en reposo ($\vec{V}=0$): No hay fuerza magnética ($F_m=0$).

Cambio a un Electrón

Si se reemplaza el protón por un electrón (misma magnitud de carga, signo opuesto):

• La fuerza $\vec{F}$ iría en sentido contrario (debido al signo de $q$).
• La circunferencia tendría el mismo radio, ya que $R \propto m/q$, y la masa del electrón es diferente, pero si la velocidad inicial es la misma, el radio cambiaría debido a la diferencia de masa y carga. Si la magnitud de la carga es la misma, el radio dependerá de la masa: $R_e = \frac{m_e v}{e B}$ y $R_p = \frac{m_p v}{e B}$.

Cálculo de Vueltas

El número de vueltas ($N$) en un tiempo dado ($t$):

1. Calcular el periodo $T$: $T = \frac{2\pi R}{V} = \dots \text{seg}$ (tiempo para dar 1 vuelta).
2. Número de vueltas: $N = \frac{t_{\text{dado}}}{T_{\text{seg/rev}}}$.

6. Fuerza por Unidad de Longitud

Módulo de la fuerza por unidad de longitud entre dos conductores paralelos:

$$\frac{F}{l} = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d} = \dots \text{N/m}$$

7. Energía Cinética

Energía al Penetrar en la Región

Si la partícula penetra con velocidad $V$ (asumiendo que no hay campo eléctrico inicial o que el trabajo eléctrico es cero, $W_e=0$):

$$E_c = \frac{1}{2} m V^2 = \dots \text{J}$$

Modificación de la Energía Cinética

¿Dónde modifica el protón su $E_c$?

Una carga en un campo magnético nunca modifica su Energía Cinética ($E_c$), ya que la fuerza magnética ($\vec{F}_m$) siempre es perpendicular a la velocidad ($\vec{v}$), por lo tanto, no realiza trabajo ($W = \Delta E_c = 0$).

8. Razonamiento de la Trayectoria y Radio

Esquema Gráfico y Naturaleza del Movimiento

La partícula describe una trayectoria circular uniforme (si $\vec{v} \perp \vec{B}$). La fuerza magnética ($F_b$) actúa como la fuerza centrípeta ($F_c$):

$$F_b = F_c \implies qvB = \frac{m v^2}{R}$$

Radio de la Circunferencia Descrita

El radio ($R$) se calcula como:

• $R = \frac{m v}{q B} = \dots \text{m}$
• $R = \frac{m v}{F}$
• $R = \frac{V}{\omega}$ (donde $\omega$ es la velocidad angular)

Velocidad Angular

La velocidad angular ($\omega$) es:

• $\omega = \frac{V}{R} = \dots \text{rad/s}$
• $\omega = \frac{2\pi}{T}$
• $\omega = 2\pi \cdot \text{Frecuencia}$

9. Desviación en Campo Eléctrico y Magnético Combinados

Si la partícula se somete a campos $\vec{E}$ y $\vec{B}$ (como en un selector de velocidad, aunque la notación es inusual):

$$R = \frac{q (\vec{v} \times \vec{B} - \vec{E})}{K} = \dots \text{N}$$

La desviación en el sentido negativo del eje $OZ$ ($\hat{k}$) dependerá de la dirección y magnitud de $\vec{E}$ y $\vec{B}$ y la carga $q$.

10. Periodo Orbital y Relaciones de Masa

Periodo Orbital del Protón ($T_p$)

El periodo orbital para el protón:

$$T_{p^+} = \frac{4 \pi m_{p^+}}{q_{p^+} B}$$

Relación entre masa, radio y velocidad (derivada de $F_c = F_m$):

$$\frac{m_1 v_1}{r_1} = \frac{m_2 v_2}{r_2}$$

Relacionando masa y energía cinética ($m v = 2 m E_c$ al elevar al cuadrado):

$$\frac{m_1}{r_1} = \frac{2 m_1}{r_2}$$