Cálculos Esenciales en Propiedades Mecánicas de Materiales

Conceptos Fundamentales en Mecánica de Materiales

Este documento aborda una serie de cálculos y problemas relacionados con las propiedades mecánicas de los materiales, incluyendo conceptos clave como tensión, deformación, módulo de elasticidad y ensayos de caracterización.

Definiciones Básicas

• Deformación Unitaria (ε): Representa el alargamiento por unidad de longitud. Se calcula como ε = ΔL / L₀, donde ΔL es el cambio de longitud y L₀ es la longitud inicial.
• Tensión (σ): Es la fuerza por unidad de área. Se calcula como σ = F / A, donde F es la fuerza aplicada y A es el área de la sección transversal.
• Módulo de Young (E) o Módulo de Elasticidad: Relaciona la tensión y la deformación en la región elástica del material. Se define como E = σ / ε.

Problemas de Tracción y Deformación

1. Comportamiento de un Cable de Acero

Consideremos un cable de acero con ciertas propiedades y sometido a diversas condiciones.

Cálculo de la Fuerza para una Elongación Específica

Para determinar la fuerza (F) necesaria para conseguir un alargamiento (ΔL) de 35 mm, se utilizan las relaciones de tensión y deformación:

• ε = ΔL / L₀
• σ = E · ε
• F = σ · A

Nota: Los valores específicos del cable (longitud inicial, área, módulo de Young) no se proporcionan en el extracto original para un cálculo numérico completo, pero la metodología es la indicada.

Análisis de Diagrama de Tracción

A partir de un diagrama de tracción (tensión-deformación), se pueden extraer puntos clave como P(4, 90) y R(4.8, 260). Estos puntos representan pares (deformación, tensión) o (fuerza, alargamiento) en la curva.

Cálculo del Módulo de Elasticidad

Si se tienen puntos de tensión y deformación, el módulo de elasticidad (E) se puede calcular como la pendiente en la región elástica:

• E = σ / ε
• Ejemplo: Si σ = 90 MPa y ε = 4 (asumiendo 4 es una deformación unitaria, aunque es un valor alto), entonces E = 90/4 MPa.
• Conversión: Para convertir de MPa a GPa, se divide por 1000 (1 MPa = 10^-3 GPa).

Determinación de la Longitud Final de una Barra

Para calcular la longitud final (L₁) de una barra en mm al aplicar una fuerza (F), se sigue el siguiente procedimiento:

• Calcular la tensión: σ = F / A
• Calcular la deformación unitaria: ε = σ / E
• Calcular el alargamiento: ΔL = ε · L₀
• La longitud final será: L₁ = L₀ + ΔL

Fuerza que Produce Rotura

La fuerza (F) en kN que produce la rotura se calcula a partir de la tensión de rotura (σ_rotura) y el área de la sección transversal (A):

• F = σ_rotura · A

2. Propiedades de un Latón

Un latón tiene un módulo de elasticidad de 120 N/m² y un límite elástico de 250 N/m².

Recuperación de la Longitud al Retirar la Carga

Si se suspende una carga de 1500 N, para saber si el material recuperará su longitud original al retirar la carga, se debe calcular la tensión inducida (σ = F / A₀) y compararla con el límite elástico del material. Si la tensión inducida es menor o igual al límite elástico, la deformación es elástica y el material recuperará su forma original.

Cálculo de Alargamiento Unitario y Total

• Alargamiento unitario (ε): ε = σ / E. Por ejemplo, si σ = 1.5 N/m² y E = 120 N/m², entonces ε = 1.5 / 120.
• Alargamiento total (ΔL): ΔL = ε · L₀.

Diámetro Mínimo para Evitar Deformación Permanente

Para que una pieza no experimente deformación permanente bajo una carga de 8 x 10⁴ N, la tensión máxima no debe superar el límite elástico. Se calcula el área mínima (A) requerida y luego el diámetro (d):

• σ_limite = F / A
• A = F / σ_limite
• Dado que A = πd² / 4, se despeja d = √(4A / π).

3. Ensayo de Tracción de Probeta

Durante un ensayo de tracción, se obtuvieron los siguientes datos para una probeta: carga axial de 8300 N, longitud inicial de 5 cm y un alargamiento de 0.0015 cm. El área de la sección transversal es de 132 mm².

Cálculo del Módulo de Elasticidad

El módulo de elasticidad (E) se calcula a partir de la tensión y la deformación unitaria:

• Calcular el área en m²: A = 132 mm² = 132 x 10^-6 m²
• Calcular la tensión: σ = F / A = 8300 N / (132 x 10^-6 m²)
• Calcular la deformación unitaria: ε = ΔL / L₀ = 0.0015 cm / 5 cm
• Calcular el módulo de elasticidad: E = σ / ε

Alargamiento de una Barra bajo Carga

Para una barra de 6 cm de diámetro y 50 cm de longitud, al aplicar una fuerza de 5000 N (suponiendo que no se ha superado el límite de elasticidad), el alargamiento (ΔL) se calcula como:

• Calcular el área de la sección transversal (A₀) a partir del diámetro de 6 cm.
• ΔL = (F · L₀) / (E · A₀), donde E es el módulo de elasticidad del material (se usaría el valor medio calculado previamente si fuera aplicable).

4. Selección de Material Adecuado

Para una pieza de 300 mm de longitud sometida a una fuerza de 5000 N, se debe elegir un material adecuado. Se dispone de latón con un límite elástico de 345 MPa y una densidad de 8.5 g/cm³.

Cálculo del Área Mínima y Masa

• Área mínima (A): Para que el material soporte la carga sin deformación permanente, la tensión no debe exceder el límite elástico. A = F / σ_limite_elastico.
• Masa (m): Una vez determinada el área y conociendo la longitud (L) y la densidad (ρ), la masa se calcula como m = ρ · V = ρ · L · A. Asegúrese de usar unidades consistentes (por ejemplo, convertir g/cm³ a kg/m³).

5. Diseño de Barra Cilíndrica de Acero

Una barra cilíndrica de acero tiene un límite elástico de 325 MPa y un módulo de elasticidad de 20.7 x 10⁴ MPa. Se aplica una fuerza de 25000 N y su longitud inicial es de 700 mm.

Diámetro Requerido para un Alargamiento Máximo

Para que el alargamiento no exceda los 0.35 mm, se calcula el diámetro (d) necesario:

• Calcular la deformación unitaria máxima permitida: ε = ΔL / L₀ = 0.35 mm / 700 mm.
• Calcular la tensión máxima permitida: σ = E · ε. (Asegúrese de que σ no exceda el límite elástico).
• Calcular el área de la sección transversal requerida: A = F / σ.
• Calcular el diámetro: d = √(4A / π).

Verificación de Deformación Permanente

Después de eliminar la carga, para verificar si la barra permanecerá deformada, se calcula la tensión (σ = F / A) con el área calculada. Si esta tensión es menor que el límite elástico (325 MPa), la barra no sufrirá deformación permanente.

6. Probeta Normalizada de Tracción

Una probeta normalizada de 13.8 mm de diámetro y 100 mm de longitud inicial es sometida a tracción, experimentando un alargamiento de 3 x 10^-3 mm. El módulo de Young es de 21.5 x 10^-5 kgf/cm².

Cálculo del Alargamiento Unitario

• ε = ΔL / L₀ = (3 x 10^-3 mm) / 100 mm.

Cálculo de la Tensión Unitaria

La tensión unitaria (σ) en kN/m² se calcula como:

• σ = E · ε.
• Conversión de unidades para E: 1 kgf/cm² ≈ 98.0665 kN/m². Por lo tanto, E en kN/m² = 21.5 x 10^-5 kgf/cm² * 98.0665 kN/m² per kgf/cm².

Cálculo de la Fuerza en Dicho Instante

La fuerza (F) en N se calcula a partir de la tensión y el área inicial (A₀):

• Calcular A₀ = π · (D/2)².
• F = σ · A₀.

7. Aleación de Cobre

Una aleación de cobre tiene un módulo de elasticidad de 12600 kgf/mm² y un límite elástico de 26 kgf/mm².

Tensión Unitaria para un Alargamiento Elástico Específico

Para producir un alargamiento elástico de 0.36 mm en una barra de 400 mm de longitud, la tensión unitaria (σ) necesaria es:

• Calcular la deformación unitaria: ε = ΔL / L₀ = 0.36 mm / 400 mm = 9 x 10^-4.
• Calcular la tensión: σ = E · ε = 12600 kgf/mm² · 9 x 10^-4.

Diámetro para Evitar Deformación Permanente

Para que una barra de este material, sometida a una fuerza de tracción de 8000 kgf, no experimente deformación permanente, se calcula el diámetro (d) requerido:

• Calcular el área mínima: A = F / σ_limite = 8000 kgf / 26 kgf/mm².
• Calcular el diámetro: d = √(4A / π).

Ensayos de Dureza

Ensayo de Dureza Vickers (HV)

En un ensayo de dureza Vickers, se obtuvo una dureza de HV = 300 kgf/mm² con una carga de 60 N.

Cálculo de la Diagonal Media

Para calcular el valor de la diagonal media (d) de la huella, se utiliza la fórmula de Vickers. Es importante convertir la carga a kgf si la fórmula de HV lo requiere (1 kgf = 9.80665 N):

• Carga en kgf: F_kgf = 60 N / 9.80665 N/kgf ≈ 6.118 kgf.
• Fórmula: HV = (2F_kgf sin(68°)) / d².
• Despejar d² = (2F_kgf sin(68°)) / HV.
• Luego, d = √(d²).

Ensayos de Resiliencia

Ensayo de Resiliencia Charpy

Una probeta de sección cuadrada de 10 mm de lado con una entalla tipo V de 2 mm es sometida a un impacto de martillo de 20 kgf, cayendo desde 90 cm y recuperando a 70 cm tras la rotura.

Nota: Las entallas pueden ser tipo V (2 mm) o tipo U (5 mm).

Energía Absorbida por la Probeta

La energía absorbida (E_p) se calcula a partir de la diferencia de altura del martillo:

• E_p = m · g · (h₁ - h₂)
• Cálculo: E_p = 20 kgf · 9.8 N/kgf · (0.90 m - 0.70 m) = 39.2 J.

Resiliencia del Material

La resiliencia se calcula dividiendo la energía absorbida por el área de la sección efectiva bajo la entalla:

• Área efectiva (A_efectiva): Para una probeta de 10 mm de lado con una entalla tipo V de 2 mm, el área efectiva es (10 mm - 2 mm) · 10 mm = 8 mm · 10 mm = 80 mm² = 0.8 cm².
• Resiliencia = E_p / A_efectiva = 39.2 J / 0.8 cm² = 49 J/cm².

Cálculo de Tensiones en Ensayo de Tracción

Una probeta normalizada de 100 mm de longitud y 13.8 mm de diámetro se somete a un ensayo de tracción, obteniéndose las siguientes cargas:

• Fuerza elástica: 1570 kgf
• Fuerza máxima: 5440 kgf
• Fuerza última (de rotura): 3610 kgf

Cálculo de la Tensión Correspondiente a Cada Fuerza

Para calcular la tensión (σ) correspondiente a cada fuerza, primero se determina el área inicial de la sección transversal (A₀):

• A₀ = π · r² = π · (D/2)² = π · (13.8 mm / 2)².
• Luego, para cada fuerza (F), la tensión es σ = F / A₀.

Conversiones de Unidades Comunes

A continuación, se presentan algunas conversiones de unidades frecuentes en mecánica de materiales:

• kN/mm² a GPa: 1 kN/mm² = 1 GPa (ya que 1 kN/mm² = 10³ N / (10⁻³ m)² = 10³ N / 10⁻⁶ m² = 10⁹ N/m² = 1 GPa).
• GPa a kN/m²: 1 GPa = 10⁶ kN/m² (ya que 1 GPa = 10⁹ N/m² = 10⁶ kN/m²).
• MPa a GPa: 1 MPa = 10⁻³ GPa.
• Pa a MPa: 1 Pa = 10⁻⁶ MPa.
• kN/m² a MPa: 1 kN/m² = 10⁻³ MPa (ya que 1 kN/m² = 10³ N/m² = 10³ Pa = 10⁻³ MPa).
• MPa a kN/m²: 1 MPa = 10³ kN/m² (ya que 1 MPa = 10⁶ Pa = 10⁶ N/m² = 10³ kN/m²).