Cálculo de Rentas Vitalicias y Anualidades en Seguros de Vida

Conceptos y Cálculo de Rentas Vitalicias y Anualidades

Este documento explora los diferentes tipos de anualidades y rentas vitalicias, presentando sus definiciones, fórmulas clave y ejemplos prácticos de cálculo, tanto bajo supuestos de certeza como utilizando tablas de mortalidad actuariales.

Anualidades Contingentes Anticipadas

Una anualidad contingente anticipada implica pagos periódicos que se realizan al inicio de cada período, condicionados a la supervivencia del beneficiario.

Renta Vitalicia Completa Anticipada (Vida Completa)

En este tipo de anualidad, el beneficiario recibe pagos periódicamente hasta su fallecimiento. La notación actuarial para una anualidad-due de vida completa es ä_x, donde x es la edad del beneficiario.

Para una anualidad temporal-due de n pagos, la fórmula básica es: ä_n| = (1 - vⁿ) / d, donde v = 1/(1+i) es el factor de descuento y d = i/(1+i) es la tasa de descuento.

Ejemplo de Cálculo (Supuesto de Certeza)

• Problema: Un hombre de 55 años contrata un seguro de vida completa que le otorga una renta anual de 18,000 soles al inicio de cada año. La Tasa Efectiva Anual (TEA) es del 2%. Calcule la prima única necesaria.
• Supuesto: Se asume que vivirá hasta los 110 años.
• Parámetros:
  • Tasa de interés (i) = 0.02
  • Factor de descuento (v) = 1 / (1 + i)
  • Tasa de descuento (d) = i / (1 + i)
  • Número de pagos (n) = 110 - 55 = 55 años
• Cálculo de la anualidad temporal-due (ä_55|): ä_55| = (1 - v⁵⁵) / d
• Prima: ä_55| * 18,000

Código R para cálculo (FinCal):

library(FinCal)
pv.annuity(r = 0.02, n = 55, pmt = -18000, type = 1)

Ejemplo de Cálculo (Sujeto a Mortalidad SBS)

Cuando el cálculo está sujeto a tablas de mortalidad, como las de la Superintendencia de Banca, Seguros y AFP (SBS), se utilizan funciones actuariales específicas.

Código R para cálculo con tabla de mortalidad:

Tabla1 = probs2lifetable(probs = SPPS2017H * (1 - AaxH)^(-53), radix = 10^6, type = "qx", name = "Tabla 1")
p = axn(Tabla1, x = 55, i = 0.02) # Asumiendo axn es la función para anualidad de vida completa
prima = p * 18000

Anualidades Contingentes Vencidas

Una anualidad contingente vencida implica pagos periódicos que se realizan al final de cada período, condicionados a la supervivencia del beneficiario.

Renta Vitalicia Completa Vencida

La notación actuarial para una anualidad ordinaria de vida completa es a_x.

Para una anualidad temporal ordinaria de n pagos, la fórmula básica es: a_n| = (1 - vⁿ) / i.

Ejemplo de Cálculo (Supuesto de Certeza)

• Problema: Una mujer de 60 años recibirá pagos de 15,000 soles al final de cada año. La TEA es del 1.4%.
• Supuesto: Se asume que vivirá hasta los 110 años.
• Parámetros:
  • Tasa de interés (i) = 0.014
  • Factor de descuento (v) = 1 / (1 + i)
  • Tasa de descuento (d) = i / (1 + i)
  • Número de pagos (n) = 110 - 60 = 50 años
• Cálculo de la anualidad temporal ordinaria (a_50|): a_50| = (1 - v⁵⁰) / i
• Prima: a_50| * 15,000

Código R para cálculo (FinCal):

pv.annuity(r = 0.014, n = 50, pmt = -15000, type = 0)

Ejemplo de Cálculo (Sujeto a Mortalidad SBS)

Código R para cálculo con tabla de mortalidad:

p = axn(tabla2, x = 60, i = 0.014) # Asumiendo axn es la función para anualidad de vida completa
prima = p * 15000

Anualidades Continuas de Vida Completa

Las anualidades continuas asumen que los pagos se realizan de forma ininterrumpida a lo largo del tiempo. Se utilizan en modelos teóricos y para aproximaciones.

Ejemplo de Cálculo

• Función de Supervivencia (S(x)): S(x) = 1 - (x / 104)^2.1 para 0 < x < 104.
• Edad del beneficiario: 43 años.
• Monto de la renta: 26,000 soles (asumiendo que "26k" se refiere al monto de la renta anual).
• Tasa de interés: Se requiere una Tasa Efectiva Anual (TEA) para calcular la tasa de fuerza de interés (d = log(1 + TEA)).

Código R para cálculo:

S = function(x){1 - (x / 104)^2.1}
d = log(1 + TEA) # TEA debe ser definida, por ejemplo, 0.02
f = function(t){exp(-d * t) * S(43 + t) / S(43)}
P = integrate(f, 0, 104 - 43)$value # Valor presente de la anualidad continua

Anualidades Temporales Anticipadas

Una anualidad temporal anticipada otorga pagos al inicio de cada período por un número fijo de años (n), siempre que el beneficiario sobreviva.

La notación actuarial es ä_x:n|. La fórmula básica es: ä_n| = (1 - vⁿ) / d.

Ejemplo de Cálculo (Supuesto de Certeza)

• Problema: Un hombre de 52 años contrata un seguro de vida temporal de 30 años, recibiendo una anualidad de 15,000 soles al inicio de cada año. La TEA es del 3%. Calcule la prima.
• Supuesto: Se asume que vivirá con certeza hasta los 82 años (52 + 30).
• Parámetros:
  • Tasa de interés (i) = 0.03
  • Factor de descuento (v) = 1 / (1 + i)
  • Tasa de descuento (d) = i / (1 + i)
  • Número de pagos (n) = 30 años
• Cálculo de la anualidad temporal-due (ä_30|): ä_30| = (1 - v³⁰) / d
• Prima: ä_30| * 15,000

Código R para cálculo (FinCal):

pv.annuity(r = 0.03, n = 30, pmt = -15000, type = 1)

Ejemplo de Cálculo (Sujeto a Mortalidad SBS)

Código R para cálculo con tabla de mortalidad:

prima = axn(tabla3, x = 52, n = 30, i = 0.03) * 15000

Anualidades Temporales Vencidas

Una anualidad temporal vencida otorga pagos al final de cada período por un número fijo de años (n), siempre que el beneficiario sobreviva.

La notación actuarial es a_x:n|. La fórmula básica es: a_n| = (1 - vⁿ) / i.

Ejemplo de Cálculo (Supuesto de Certeza)

• Problema: Una mujer de 64 años contrata un seguro temporal de 27 años, recibiendo 12,000 soles al final de cada año. La TEA es del 4%. Calcule la prima.
• Supuesto: Se asume que vivirá hasta los 91 años (64 + 27).
• Parámetros:
  • Tasa de interés (i) = 0.04
  • Factor de descuento (v) = 1 / (1 + i)
  • Tasa de descuento (d) = i / (1 + i)
  • Número de pagos (n) = 27 años
• Cálculo de la anualidad temporal ordinaria (a_27|): a_27| = (1 - v²⁷) / i
• Prima: a_27| * 12,000

Código R para cálculo (FinCal):

pv.annuity(r = 0.04, n = 27, pmt = -12000, type = 0)

Anualidades Diferidas

En una anualidad diferida, el primer pago ocurre en un tiempo futuro, después de un período de diferimiento (m años). El valor presente actuarial se calcula considerando este diferimiento.

• Notación para vida completa anticipada diferida: _m|ä_x
• Notación para vida completa vencida diferida: _m|a_x
• Notación para temporal anticipada diferida: _m|ä_x:n|
• Notación para temporal vencida diferida: _m|a_x:n|

Ejemplo de Cálculo (Supuesto de Certeza)

• Problema: Un hombre de 35 años contrata un seguro de vida completa diferido en 30 años, recibiendo un beneficio de 15,000 soles al inicio de cada año. La TEA es del 1%.
• Supuesto: Se asume que vivirá hasta los 110 años.
• Parámetros:
  • Tasa de interés (i) = 0.01
  • Factor de descuento (v) = 1 / (1 + i)
  • Tasa de descuento (d) = i / (1 + i)
  • Número de pagos (n) = 110 - (35 + 30) = 45 años (si fuera temporal después del diferimiento)
  • Para vida completa, se calcula el valor presente de la anualidad de vida completa a la edad de inicio de pagos (35+30=65) y se descuenta al presente.
• Cálculo de la anualidad diferida: Esto implicaría calcular el valor presente de una anualidad que comienza en el futuro. Para una anualidad de vida completa diferida, se calcula v^m * _mp_x * ä_x+m. Si se usa pv.annuity para una anualidad temporal, n sería el número de pagos efectivos.

Código R para cálculo (FinCal - para anualidad temporal):

pv.annuity(r = 0.01, n = 45, pmt = -15000, type = 1) # Esto sería para una anualidad temporal que empieza inmediatamente

Nota: La función pv.annuity en FinCal no calcula directamente anualidades diferidas contingentes. Se necesitarían cálculos actuariales específicos. El ejemplo original parece simplificarlo a una anualidad temporal que comienza después del diferimiento, o asume que n ya incorpora el diferimiento para una anualidad de vida completa.

Ejemplo de Cálculo (Sujeto a Mortalidad SBS)

Código R para cálculo con tabla de mortalidad:

prima = axn(tabla5, x = 35, m = 30, i = 0.01) # Asumiendo axn puede manejar diferimiento