Cálculo de Parámetros y Propiedades de Funciones: Continuidad, Extremos y Asíntotas

Problema 1: Determinación de Parámetros y Estudio de una Función por Tramos

Se nos presenta la función definida por tramos:

f(x) = ax² - 2x si x ≤ 2

f(x) = x/2 - b si x > 2

a) Cálculo de los Parámetros 'a' y 'b'

Para que la función f(x) sea continua en ℝ, debe ser continua en el punto de unión x = 2.

• La función f(x) = ax² - 2x es continua en ℝ, en particular para x ≤ 2.
• La función f(x) = x/2 - b es continua en ℝ, en particular para x > 2.

La condición de continuidad en x = 2 implica que f(2) = lim (x→2⁻) f(x) = lim (x→2⁺) f(x).

• Calculamos el valor de la función y el límite por la izquierda: f(2) = lim (x→2⁻) (ax² - 2x) = a(2)² - 2(2) = 4a - 4.
• Calculamos el límite por la derecha: lim (x→2⁺) (x/2 - b) = 2/2 - b = 1 - b.

Igualando los límites para la continuidad:

4a - 4 = 1 - b

Esto nos da la primera ecuación: 4a + b = 5.

Además, se nos indica que la función tiene un mínimo en x = 1. Esto implica que la primera derivada en ese punto debe ser cero: f'(1) = 0.

• Para x ≤ 2, la función es f(x) = ax² - 2x.
• Calculamos la primera derivada para este tramo: f'(x) = 2ax - 2.
• Aplicando la condición f'(1) = 0: 2a(1) - 2 = 0 2a = 2 a = 1.

Sustituimos el valor de a = 1 en la ecuación de continuidad 4a + b = 5:

• 4(1) + b = 5
• 4 + b = 5
• b = 1.

Los valores de los parámetros obtenidos son a = 1 y b = 1.

b) Representación Gráfica de la Función con los Valores Obtenidos

Con a = 1 y b = 1, la función queda definida como:

f(x) = x² - 2x si x ≤ 2

f(x) = x/2 - 1 si x > 2

Estudio del tramo f(x) = x² - 2x para x ≤ 2

Esta es una parábola con las ramas hacia arriba (∪).

• Vértice: La abscisa del vértice V se encuentra resolviendo f'(x) = 0.
  • f'(x) = 2x - 2 = 0
  • 2x = 2
  • x = 1.
  El vértice es V(1, f(1)) = V(1, 1² - 2(1)) = V(1, -1). Este punto coincide con el mínimo dado en el enunciado.
• Cortes con los ejes:
  • Eje Y (x=0): f(0) = 0² - 2(0) = 0. Punto: (0, 0).
  • Eje X (f(x)=0): x² - 2x = 0 → x(x - 2) = 0. Esto nos da x = 0 y x = 2. Puntos: (0, 0) y (2, 0).

Estudio del tramo f(x) = x/2 - 1 para x > 2

Esta es una recta. Para trazarla, podemos usar dos puntos:

• En x = 2 (límite por la derecha): f(2⁺) = 2/2 - 1 = 1 - 1 = 0. Este punto (2, 0) asegura la continuidad con el tramo anterior.
• Para x = 4: f(4) = 4/2 - 1 = 2 - 1 = 1.

Puntos de referencia para la recta: (2, 0) y (4, 1).

Problema 2: Estudio Completo de la Función Racional

Se considera la función f(x) = 1 - 2/(x+2).

Podemos simplificar la expresión a f(x) = (x+2-2)/(x+2) = x/(x+2).

El dominio de la función es ℝ - {-2}, ya que el denominador se anula en x = -2.

Monotonía y Extremos Relativos

Para estudiar la monotonía, calculamos la primera derivada f'(x).

• f(x) = x/(x+2)
• Aplicando la regla del cociente: f'(x) = [(1)(x+2) - (x)(1)] / (x+2)² = (x+2 - x) / (x+2)² = 2 / (x+2)².

Dado que f'(x) = 2 / (x+2)², y el numerador es 2 (siempre positivo) y el denominador (x+2)² es siempre positivo (para x ≠ -2), f'(x) es siempre positiva.

• f'(x) > 0 para todo x ∈ ℝ - {-2}.

Por lo tanto, la función f(x) es estrictamente creciente en los intervalos (-∞, -2) y (-2, +∞).

Como f'(x) nunca es cero, la función no tiene extremos relativos (máximos o mínimos).

Curvatura y Puntos de Inflexión

Para estudiar la curvatura, calculamos la segunda derivada f''(x).

• Partimos de f'(x) = 2(x+2)⁻².
• Calculamos la segunda derivada: f''(x) = 2 * (-2)(x+2)⁻³ * (1) = -4 / (x+2)³.

Para encontrar posibles puntos de inflexión, igualamos f''(x) = 0. Sin embargo, la ecuación -4 / (x+2)³ = 0 no tiene solución, ya que el numerador es -4.

Analizamos el signo de f''(x) en los intervalos definidos por el punto donde la función no está definida (x = -2):

• Para x < -2 (ej. x = -3): f''(-3) = -4 / (-3+2)³ = -4 / (-1)³ = -4 / -1 = 4 > 0. La función es convexa (∪) en el intervalo (-∞, -2).
• Para x > -2 (ej. x = 0): f''(0) = -4 / (0+2)³ = -4 / 8 = -1/2 < 0. La función es cóncava (∩) en el intervalo (-2, +∞).

No hay puntos de inflexión, ya que x = -2 no pertenece al dominio de la función.

Asíntotas de la Función

• Asíntotas Verticales (AV):
  • Buscamos valores de x que anulen el denominador: x + 2 = 0 → x = -2.
  • Calculamos los límites laterales en x = -2:
    • lim (x→-2⁻) f(x) = lim (x→-2⁻) [x / (x+2)] = -2 / (0⁻) = +∞.
    • lim (x→-2⁺) f(x) = lim (x→-2⁺) [x / (x+2)] = -2 / (0⁺) = -∞.
  • Dado que los límites tienden a infinito, la recta x = -2 es una asíntota vertical de f(x).
• Asíntotas Horizontales (AH):
  • Calculamos el límite cuando x tiende a infinito: lim (x→±∞) f(x) = lim (x→±∞) [x / (x+2)] = lim (x→±∞) [x / (x(1 + 2/x))] = lim (x→±∞) [1 / (1 + 2/x)] = 1 / (1 + 0) = 1.
  • Por lo tanto, la recta y = 1 es una asíntota horizontal de f(x) tanto en +∞ como en -∞.
• Asíntotas Oblicuas (AO):
  • Dado que la función tiene asíntotas horizontales, no tiene asíntotas oblicuas.

Esbozo de la Gráfica

Con la información obtenida sobre monotonía, curvatura y asíntotas, podemos esbozar la gráfica de la función.

• Puntos de referencia adicionales:
  • Para x = -3 (a la izquierda de la AV): f(-3) = -3 / (-3+2) = -3 / -1 = 3. Punto: (-3, 3).
  • Para x = 0 (corte con el eje Y): f(0) = 0 / (0+2) = 0. Punto: (0, 0).
  • Para x = 1: f(1) = 1 / (1+2) = 1/3. Punto: (1, 1/3).

La gráfica se acercará a las asíntotas x = -2 y y = 1 sin tocarlas, siendo creciente en ambos intervalos y cambiando de convexidad a concavidad en x = -2.