Cálculo Multivariable: Extremos, Puntos de Silla y Optimización

42) Fórmula de Taylor y MacLaurin para Funciones Multivariables

43) Extremos, Mínimos Relativos y Puntos de Silla

44) Utilizando Mapas de Contorno para Encontrar Extremos y Puntos de Silla

Para utilizar un mapa de contorno (gráfico de las curvas de nivel) para encontrar extremos relativos y puntos de silla de una función z = f(x, y), puedes seguir los siguientes pasos:

1. Observar el Mapa de Contorno

Examina el mapa de contorno de la función para obtener una idea general de cómo se comporta. Observa las líneas de contorno y cómo se curvan o cruzan entre sí.

2. Encontrar los Puntos Críticos

Los puntos críticos son aquellos donde las derivadas parciales de la función con respecto a x e y son cero o no existen. Encuentra estos puntos calculando las derivadas parciales de la función y resolviendo el sistema de ecuaciones resultante para determinar los valores de x e y.

3. Calcular la Matriz Hessiana

La matriz hessiana se utiliza para determinar el tipo de punto crítico (máximo, mínimo o punto de silla). Calcula las segundas derivadas parciales de la función y construye la matriz hessiana.

4. Evaluar la Matriz Hessiana en los Puntos Críticos

Sustituye los valores de x e y de cada punto crítico en la matriz hessiana y determina sus eigenvalores.

5. Analizar los Eigenvalores

Los eigenvalores determinan la naturaleza de los puntos críticos. Si todos los eigenvalores son positivos, el punto crítico es un mínimo local. Si todos los eigenvalores son negativos, el punto crítico es un máximo local. Si hay una combinación de eigenvalores positivos y negativos, el punto crítico es un punto de silla.

6. Identificar los Extremos Relativos y Puntos de Silla

Utilizando la información obtenida en el paso anterior, identifica los extremos relativos y los puntos de silla. Los extremos relativos se encuentran en los puntos críticos donde la función alcanza el valor máximo o mínimo local. Los puntos de silla son aquellos donde la función no alcanza un máximo ni un mínimo, sino que se curva en diferentes direcciones.

Recuerda que este método se basa en el supuesto de que la función es diferenciable y que el mapa de contorno es lo suficientemente detallado. En algunos casos, puede ser necesario utilizar otros métodos para encontrar extremos relativos y puntos de silla, como la prueba de la segunda derivada o el uso de restricciones adicionales.

45) Método de las Variables Ligadas para Extremos Condicionados

46) Método de los Multiplicadores de Lagrange para Extremos Condicionados