Cálculo multivariable aplicado: dominios, límites, continuidad y derivadas en economía

✓ Dominio

• Funciones polinómicas / Funciones exponenciales: sin restricción en el dominio.
• Funciones homográficas: dominio R con la condición de que el denominador sea distinto de 0 (R \u2260 0).
• Funciones logarítmicas: dominio R con la condición argumento > 0 (R > 0).
• Funciones irracionales: dominio R con la condición radicando >= 0 (R >= 0).

✓ Límites

Formas de evaluar límites por caminos:

• Límites sucesivos (L1, L2): calcular el límite primero por una variable y luego por la otra.
• Límites radiales: evaluar por rectas del tipo y = m x.
• Límites parabólicos: evaluar por curvas del tipo y = raiz cuadrada de x u otras parábolas.

Si los límites por distintos caminos son diferentes, entonces el límite no existe.

✓ Continuidad

Una función es continua en un punto si se cumplen las tres condiciones siguientes:

1. Que exista el punto en el dominio.
2. Que exista el límite de la función en ese punto.
3. Que el valor de la función en el punto y el límite coincidan.

Si el valor de la función y el límite no coinciden, se trata de una discontinuidad evitable y se puede definir una nueva función f* que corrija el valor. Si no existe el límite, es una discontinuidad esencial.

✓ Derivadas parciales (miden variaciones aproximadas; aplicaciones económicas: marginales)

Notación: F_x y F_y (derivadas parciales respecto de x e y, respectivamente).

• En economía, al derivar una función de demanda respecto de su precio propio se obtiene la sensibilidad de la demanda ante cambios en el precio (efecto precio). La derivada respecto al ingreso indica si un bien es normal (derivada positiva) o inferior (derivada negativa).
• Si se deriva la demanda respecto del precio de otro bien, se obtiene la demanda cruzada:
  • Si la derivada es positiva: bienes sustitutos.
  • Si la derivada es negativa: bienes complementarios.
  • Si la derivada es cero: bienes independientes.

✓ Derivadas por definición

Definiciones mediante el límite incremental:

• Derivada parcial respecto de x:
  F_x(x,y) = lim_{Delta x -> 0} [F(x + Delta x, y) - F(x,y)] / Delta x
• Derivada parcial respecto de y:
  F_y(x,y) = lim_{Delta y -> 0} [F(x, y + Delta y) - F(x,y)] / Delta y

✓ Elasticidad

La elasticidad mide la variación porcentual de la demanda ante una variación del 1% en una variable (precio propio, precio de otro bien o ingreso).

• 1. Elasticidad precio:
  epsilon_p = (partial D / partial P) * (P / D). Se suele tomar el valor absoluto para interpretar magnitud.
  • |epsilon_p| > 1: elástica.
  • |epsilon_p| = 1: unitaria.
  • |epsilon_p| < 1: inelástica.
• 2. Elasticidad cruzada:
  epsilon_{12} = (partial D1 / partial P2) * (P2 / D1).
  • epsilon_{12} > 0: bienes sustitutos.
  • epsilon_{12} < 0: bienes complementarios.
  • epsilon_{12} = 0: bienes independientes.
• 3. Elasticidad ingreso (renta):
  epsilon_R = (partial D / partial R) * (R / D).
  • epsilon_R > 0: bien normal.
  • epsilon_R < 0: bien inferior.
  • epsilon_R > 1: bien de lujo (elasticidad ingreso alta).
  • 0 < epsilon_R < 1: bien necesario (elasticidad ingreso baja).

✓ Homogeneidad (landa)

Teorema de Euler para funciones homogéneas de grado n:

x F_x + y F_y = n F(x,y)

✓ Funciones compuestas

Si Z = f(x,y) con x = x(p) e y = y(p), la regla de la cadena da:

dZ/dp = f_x(x,y) * dx/dp + f_y(x,y) * dy/dp

✓ Diferencial e incremento

Ambos miden variaciones; la notación Delta (🔼) indica incremento.

• Diferencial: mide la variación aproximada usando derivadas parciales.
  dF ≈ F_x * Delta x + F_y * Delta y
• Incremento: variación exacta de la función.
  Delta F = F(x + Delta x, y + Delta y) - F(x,y)

Si se solicita una aproximación de la variación, se usa la diferencial: dF ≈ F_x Delta x + F_y Delta y.

✓ Derivadas de funciones implícitas

Para una función implícita definida por F(x,y,z) = 0 (tres variables), las derivadas parciales de z se obtienen como:

• partial z / partial x = - F_x / F_z
• partial z / partial y = - F_y / F_z

Ejemplo: si la función define una producción z implícita en términos de x e y, estas fórmulas permiten hallar la producción marginal respecto de x e y.

Notas finales

• Se han destacado en negrita los conceptos clave para facilitar la lectura y el repaso.
• Si desea, puedo generar ejemplos resueltos de cualquiera de los apartados anteriores (cálculo de límites por caminos, derivadas parciales concretas, elasticidades numéricas, aplicación del teorema de Euler, etc.).