Cálculo de límites y continuidad en funciones

Cálculo del límite en un punto

- Si f(x) es una función polinómica, racional, radical, exponencial, logarítmica, etc.

(Para calcular el límite se sustituye en la función el valor al que tienden las x)

Cálculo del límite en una función definida a trozos

- En primer lugar tenemos que estudiar los límites laterales en los puntos de unión de los diferentes trozos. (Si coinciden, este es el valor del límite) (Si no coinciden, el límite no existe)

Cálculo de límites cuando x → ∞

- Para calcular el límite de una función cuando x → ∞ se sustituyen las x por ∞.

Indeterminación ∞ / ∞

- funciones potenciales. Dividimos todos los sumandos por la x elevada al mayor exponente.

- Con funciones exponenciales. Dividimos por la exponencial de mayor base.

Indeterminación ∞-∞

- Con funciones racionales. Efectuamos la resta y obtenemos ∞/∞. Resolvemos esta indeterminación (como en ∞/∞)

- funciones irracionales. Podemos multiplicar y dividir por el conjugado.

Indeterminación 0/0

- Función racional sin radicales: Se descomponen en factores los polinomios y se simplifica la fracción.

- Función racional con radicales: En primer lugar multiplicamos numerador y denominador por el conjugado de la expresión irracional y después multiplicamos y dividimos por el conjugado del denominador y simplificamos la fracción.

Indeterminación cero por infinito 0·∞

- Se transforma a ∞/∞ o a 0/0

Indeterminación uno elevado a infinito 𝟏^∞

Continuidad de una función en un punto

- Función f(x) es continua en un punto x = a si:

1. Que el punto x = a tenga imagen.

2. Que exista el límite de la función en el punto x = a. (Se calculan los límites laterales y f(x))

3. Que la imagen del punto coincida con el límite de la función en el punto. (f(a) = lim f(x)_x→a)

Continuidad de funciones

- Las funciones polinómicas, racionales, con radicales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas son continuas en todos los puntos de su dominio.

Funciones definidas a trozos

- Las funciones definidas a trozos son continuas si coinciden sus límites laterales y f(a)

Discontinuidad de funciones

- Si alguna de las tres condiciones de continuidad no se cumple, la función es discontinua en a

Discontinuidad evitable (1ª especie)

- Una discontinuidad es evitable en un punto x = a si lim f(x)_x→a existe y éste es finito

Discontinuidad inevitable (1ª especie)

- Una discontinuidad es inevitable o de primera especie si existen los límites laterales en x = a, pero son distintos.

Tipos:

1. Discontinuidad inevitable de salto finito: La diferencia entre los límites laterales es un número real.

2. Discontinuidad inevitable de salto infinito: La diferencia entre los límites laterales es infinito.

(2ª especie)

y = f(x)

Derivadas laterales

- Una función es derivable en un punto si, y sólo si, es derivable por la izquierda y por la derecha en dicho punto y las derivadas laterales coinciden.

Derivada de las funciones a trozos

- En las funciones definidas a trozos es necesario estudiar las derivadas laterales en los puntos de separación de los distintos trozos.

Derivabilidad y continuidad

- Si una función es derivable en un punto x = a, entonces es continua para x = a.

Derivadas sucesivas

- Si derivamos la derivada de una función, derivada primera, obtenemos una nueva función que se llama derivada segunda, f''(x), si volvemos a derivar obtenemos la derivada tercera, f'''(x) y así sucesivamente

Teorema de Rolle

Si una función es: Continua en [a, b]

Derivable en (a, b)

Y se cumple que f(a) = f(b)

Entonces, existe algún punto c (a, b) en el que f'(c) = 0.

Optimización de funciones

- Pasos para la resolución de problemas de optimización

1. Se plantea la función que hay que maximizar o minimizar.

2. Se plantea una ecuación que relacione las distintas variables del problema, en el caso de que haya más de una variable.

3. Se despeja una variable de la ecuación y se sustituye en la función de modo que nos quede una sola variable.

4. Se deriva la función y se iguala a cero, para hallar los extremos locales.

5. Se realiza la 2ª derivada para comprobar el resultado obtenido.