Cálculo de Límites y Asíntotas: Conceptos y Ejercicios Resueltos

Funciones a Trozos y Continuidad

Función 1: Análisis de Continuidad

Consideremos la función definida a trozos:

f(x) = {
    3x - 5             si x < -2
    4x² - 7x + 1       si -2 ≤ x ≤ 6
    7√(x - 4) + 10   si x > 6
}

Evaluación en los Puntos Críticos:

• Para x = -2 (usando la segunda rama): f(-2) = 4(-2)² - 7(-2) + 1 = 4(4) + 14 + 1 = 16 + 14 + 1 = 31
• Para x = 6 (usando la segunda rama): f(6) = 4(6)² - 7(6) + 1 = 4(36) - 42 + 1 = 144 - 42 + 1 = 103

Límites Laterales:

• En x = -2:
  • Límite por la izquierda: limx→-2- (3x - 5) = 3(-2) - 5 = -6 - 5 = -11
  • Límite por la derecha: limx→-2+ (4x² - 7x + 1) = 4(-2)² - 7(-2) + 1 = 16 + 14 + 1 = 31
  • Conclusión: Dado que limx→-2- f(x) ≠ limx→-2+ f(x), la función presenta una discontinuidad de salto en x = -2.
• En x = 6:
  • Límite por la izquierda: limx→6- (4x² - 7x + 1) = 4(6)² - 7(6) + 1 = 144 - 42 + 1 = 103
  • Límite por la derecha: limx→6+ (7√(x - 4) + 10) = 7√(6 - 4) + 10 = 7√2 + 10 ≈ 7(1.414) + 10 ≈ 9.898 + 10 = 19.898
  • Conclusión: Dado que limx→6- f(x) ≠ limx→6+ f(x), la función presenta una discontinuidad de salto en x = 6.

Función 2: Análisis de Continuidad

Consideremos la segunda función definida a trozos:

f(x) = {
    -2x - 4             si x < -6
    -x² - x + 1         si -6 ≤ x ≤ 4
    -3√(3x + 6) + 5   si x > 4
}

Evaluación en los Puntos Críticos:

• Para x = -6 (usando la segunda rama): f(-6) = -(-6)² - (-6) + 1 = -36 + 6 + 1 = -29
• Para x = 4 (usando la segunda rama): f(4) = -(4)² - 4 + 1 = -16 - 4 + 1 = -19

Límites Laterales:

• En x = -6:
  • Límite por la izquierda: limx→-6- (-2x - 4) = -2(-6) - 4 = 12 - 4 = 8
  • Límite por la derecha: limx→-6+ (-x² - x + 1) = -(-6)² - (-6) + 1 = -36 + 6 + 1 = -29
  • Conclusión: Dado que limx→-6- f(x) ≠ limx→-6+ f(x), la función presenta una discontinuidad de salto en x = -6.
• En x = 4:
  • Límite por la izquierda: limx→4- (-x² - x + 1) = -(4)² - 4 + 1 = -16 - 4 + 1 = -19
  • Límite por la derecha: limx→4+ (-3√(3x + 6) + 5) = -3√(3(4) + 6) + 5 = -3√(12 + 6) + 5 = -3√18 + 5 ≈ -3(4.24) + 5 ≈ -12.72 + 5 = -7.72
  • Conclusión: Dado que limx→4- f(x) ≠ limx→4+ f(x), la función presenta una discontinuidad de salto en x = 4.

Cálculo de Límites

Límites con Indeterminaciones (0/0)

Límite 1: Racionalización y Factorización

limx→64 (√x - 8) / (∛x - 4)

Para resolver esta indeterminación, podemos usar una sustitución. Sea u = x1/6. Entonces u6 = x, u3 = √x y u2 = ∛x. Cuando x→64, u→641/6 = 2.

limu→2 (u3 - 8) / (u2 - 4)

Factorizamos el numerador (diferencia de cubos) y el denominador (diferencia de cuadrados):

limu→2 ((u - 2)(u2 + 2u + 4)) / ((u - 2)(u + 2))

Cancelamos el término (u - 2):

limu→2 (u2 + 2u + 4) / (u + 2)

Sustituimos u = 2:

(22 + 2(2) + 4) / (2 + 2) = (4 + 4 + 4) / 4 = 12 / 4 = 3

Límite 2: Multiplicación por el Conjugado

limx→2 (√(x² + 5) - 3) / (x² - 2x)

Multiplicamos el numerador y el denominador por el conjugado del numerador, (√(x² + 5) + 3):

limx→2 [(√(x² + 5) - 3) * (√(x² + 5) + 3)] / [(x² - 2x) * (√(x² + 5) + 3)]

Aplicamos la diferencia de cuadrados en el numerador (a - b)(a + b) = a² - b²:

limx→2 ((x² + 5) - 3²) / [x(x - 2)(√(x² + 5) + 3)]

limx→2 (x² + 5 - 9) / [x(x - 2)(√(x² + 5) + 3)]

limx→2 (x² - 4) / [x(x - 2)(√(x² + 5) + 3)]

Factorizamos el numerador (x² - 4) = (x - 2)(x + 2):

limx→2 ((x - 2)(x + 2)) / [x(x - 2)(√(x² + 5) + 3)]

Cancelamos el término (x - 2):

limx→2 (x + 2) / [x(√(x² + 5) + 3)]

Sustituimos x = 2:

(2 + 2) / [2(√(2² + 5) + 3)] = 4 / [2(√9 + 3)] = 4 / [2(3 + 3)] = 4 / [2(6)] = 4 / 12 = 1/3

Límite 3: Multiplicación por el Conjugado

limx→0 (√(3x + 1) - 1) / x

Multiplicamos por el conjugado del numerador, (√(3x + 1) + 1):

limx→0 [(√(3x + 1) - 1) * (√(3x + 1) + 1)] / [x * (√(3x + 1) + 1)]

Aplicamos la diferencia de cuadrados en el numerador:

limx→0 ((3x + 1) - 1²) / [x(√(3x + 1) + 1)]

limx→0 (3x + 1 - 1) / [x(√(3x + 1) + 1)]

limx→0 (3x) / [x(√(3x + 1) + 1)]

Cancelamos el término x:

limx→0 3 / (√(3x + 1) + 1)

Sustituimos x = 0:

3 / (√(3(0) + 1) + 1) = 3 / (√1 + 1) = 3 / (1 + 1) = 3/2

Límites al Infinito

Límite 4: Cociente de Polinomios

limx→∞ (3x - 2) / (2x + 1)

Dividimos cada término del numerador y del denominador por la mayor potencia de x en el denominador (que es x):

limx→∞ (3x/x - 2/x) / (2x/x + 1/x)

limx→∞ (3 - 2/x) / (2 + 1/x)

Cuando x→∞, los términos 2/x y 1/x tienden a 0:

(3 - 0) / (2 + 0) = 3/2

Límite 5: Cociente de Polinomios (con potencias)

limx→∞ (2x² + 1)² / ((x - 1)² * (x² + x))

Expandimos el numerador y el denominador para identificar la mayor potencia de x:

• Numerador: (2x² + 1)² = (2x²)² + 2(2x²)(1) + 1² = 4x4 + 4x² + 1
• Denominador: (x - 1)² * (x² + x) = (x² - 2x + 1) * (x² + x)
  • x²(x² + x) = x4 + x³
  • -2x(x² + x) = -2x³ - 2x²
  • 1(x² + x) = x² + x
  • Sumando: x4 + x³ - 2x³ - 2x² + x² + x = x4 - x³ - x² + x

El límite se convierte en:

limx→∞ (4x4 + 4x² + 1) / (x4 - x³ - x² + x)

Dividimos cada término por la mayor potencia de x en el denominador (que es x4):

limx→∞ (4x4/x4 + 4x²/x4 + 1/x4) / (x4/x4 - x³/x4 - x²/x4 + x/x4)

limx→∞ (4 + 4/x² + 1/x4) / (1 - 1/x - 1/x² + 1/x³)

Cuando x→∞, todos los términos con 1/xn tienden a 0:

(4 + 0 + 0) / (1 - 0 - 0 + 0) = 4 / 1 = 4

Asíntotas de Funciones Racionales

Definición y Cálculo de Asíntotas para f(x) = (3x² + 2x) / (x - 2)

Asíntota Vertical (A.V.)

Una asíntota vertical existe donde el denominador de la función racional se hace cero y el numerador no es cero en ese punto. Para f(x) = (3x² + 2x) / (x - 2):

• Igualamos el denominador a cero: x - 2 = 0
• Resolvemos para x: x = 2
• Verificamos que el numerador no sea cero en x = 2: 3(2)² + 2(2) = 3(4) + 4 = 12 + 4 = 16 ≠ 0.

Por lo tanto, hay una asíntota vertical en x = 2.

Asíntota Horizontal (A.H.)

Para determinar la asíntota horizontal, comparamos los grados del polinomio en el numerador (p(x)) y el denominador (q(x)):

• Si grado(p(x)) < grado(q(x)), la asíntota horizontal es y = 0.
• Si grado(p(x)) = grado(q(x)), la asíntota horizontal es y = (coeficiente principal de p(x)) / (coeficiente principal de q(x)).
• Si grado(p(x)) > grado(q(x)), no hay asíntota horizontal.

En nuestro caso, grado(3x² + 2x) = 2 y grado(x - 2) = 1. Como 2 > 1, la función no tiene asíntota horizontal.

Asíntota Oblicua (A.O.)

Una asíntota oblicua existe si el grado del numerador es exactamente uno más que el grado del denominador (grado(p(x)) = grado(q(x)) + 1).

En este caso, grado(p(x)) = 2 y grado(q(x)) = 1, por lo que 2 = 1 + 1. Esto significa que sí hay una asíntota oblicua.

Para encontrar la ecuación de la asíntota oblicua (y = mx + b), realizamos la división polinómica del numerador entre el denominador:

        3x + 8
      _________
x - 2 | 3x² + 2x
      -(3x² - 6x)
      _________
            8x
          -(8x - 16)
          _________
                16

El cociente de la división es 3x + 8. Por lo tanto, la asíntota oblicua es y = 3x + 8.

Propiedades Fundamentales de Límites

Límites Trigonométricos Notables (cuando x→0)

• limx→0 (sen x) / x = 1
• limx→0 (1 - cos x) / x = 0
• limx→0 (cos x - 1) / x = 0
• limx→0 (tan x) / x = 1

Límites al Infinito Notables (cuando x→∞)

• limx→∞ 1 / x = 0
• limx→∞ a / xp = 0 (donde a es una constante y p > 0)