Cálculo Integral, Derivadas Vectoriales y Números Reales: Conceptos Fundamentales y Aplicaciones

TEOREMA Y FORMULA FUNDAMENTAL DEL Cálculo INTEGRAL

Teorema del valor medio integral: si una función f(x) es contínua en un intervalo[a,b]existe un punto intermedio CE (a,b) tal que f(c)= 1/b-a int^b_a f(x) dx. Teorema fundamental del cálculo: Si una función f(x) es continua en [a,b]entonces la función definida por f(x)=int^x_a f(t) dt es continua en (a,b) y Fc'x=f(x). Como consecuencia si conocemos una antiderivada g(x) de una función continua f(x) en el intervalo [a,b]. Es decir, si g'(x)=f(x) para todo XE[a,b]. Como cambien la función F(x)=int^x_a f(t) dt es otra antiderivada de f(x),se tiene que la derivada de la diferencia es cero para todo XE [a,b]; es decir: (F(x)-g(x))'=F'(x)-g'(x)=f(x)-f(x)=0. Debe ser una función cte para todo XE [a,b]. Es decir,existe un C tal que F(x)- g(x)=C y se tiene la igualdad F(x)=int^x_af(t)dt=g(x)+C; En particular F(a)=int^a_af(t)dt=0=g(a)+C (donde C=-g(a)); Entonces se tiene F(b)=int^b_af(t)dt=g(b)+C =g(b)-g(a). Y así se demuestra la formula fundamental del cálculo integral. Si g'(x)=f(X) es continua en [a,b], entonces la integral definida en este intervalo se cacula como la diferencia de los valores de cualquier antiderivada en los limites de integración.

DERIVADAS VECTORIALES

LA DERIVADA DE UNA Función VECTORIAL r(t)=(r₁(t).....R_n(t)) SE DEFINE COMO EL LIMITE, SI EXISTE,SIGUIENTE: dr/dt=r'(t)= lim(h->0) [r(t+h)-r(t)]/h CUANDO EXISTE Y ES DISTINTO DEL VECTOR CERO, A r'(t)≠0 SE LLAMA VECTOR TANGENTE.PRECISAMENTE, LLAMAMOS Línea TANGENTE A LA CURVA r(t) A UNA RECTA QUE PASA POR EL PUNTO r(t₀) Y SEA PARALELA A VECTOR TANGENTE r'(t₀). OSEA x(λ)=r (t₀)+λr'(t₀). TEOREMA 1: SI r(t)=(r₁(t)....R_n(t) ES UNA Función VECTORIAL ENTONCES dr/dt=r'(t)=r₁' (t)...R_n'(t)) Demostración DE LA DEFIN ANTERIOR: r'(t)=lim(h->0) [r(t+h)-r(t)]/h= lim (h-->0) 1/h((r1(t+h),..., rn(t+h))−(r1(t),..., rn(t)))= lim(h->0) 1/h (r1(t +h)−r1(t)),...,lim (h->0) 1/h (rn(t +h)−rn(t)))= = (r₁' (t),..., r_n' (t)) O sea, la derivada de un vector es la derivada de sus coordenadas y existe si y sólo si existen estas.

REGLAS DE Diferenciación VECTORIAL

Supongamos u(t), v(t) funciones vectoriales de R en Rⁿ , c ∈ R un escalar y f (t) una función escalar de R en R. Entonces 1) regla  de  la  suma  d/dt  [u(t)+v(t)]=u’(t)+v’(t)   2)multiplicación  por  un  escalar  λu(t)=λu’(t)   3)por  una  función  escalar  f(t)u(t)=f’(t)ut+f(t)u(t) 4)regla  del  producto  escalar  [u(t).V(t)]=u’(t).V(t)+u(t).V’(t)  5)del producto  vectorial  [u(t)x  v(t)]=u’(t)x  u(t)+u(t)x  u’(t)   6) de  la  composición  o  cadena  u  (f(t))=f’(t)u’(f(t)).

APLICACIONES

 Una  función  vectorial  r(t)  de  la  posición  en  el  instante  t.  Este  vector  le  llamamos   velocidad  vectorial  media  en  el  intervalo  de  tiempo,  y  a  su  derivada  velocidad  vectorial   en  el  instante  t.   V(t)=r’(t)=lim  h-­‐>0  r(t+h)-r(t)  h   La  norma |v(t)|=|r’(t)|  le  llamamos  velocidad  escalar.La  acceleracion  vectorial  se  define  como  la  derivada  de  la  velocidad  vectorial a(t)=v’(t)=r’’(t)   Ej:  r(t)=(t²,  4t,  t²-­4t); r’(t)=(2t,y,2t-­y)-­‐>  velocidad  vectorial |r’(t)|=;   V ²=8t²-­16t+32 ; 8t²-­16t+32   V’(t)=16t-­16  -­‐>t=1   V’’(t)=16  luego  t=1 es un min.Posición  del  vector  cuando  la  v=min (1)=(1,4,-­3)   a(t)=r’’(t)=(2,0,2)    

Números REALES

EL CONJUNTO FORMADO POR TODOS LOS Números RACIONALES E IRRAC SE LLAMA CONJUTNO DE OS Números REALES Y SE REPPRESENTA CON R. POR SU PROPIA DEF O Constitución DE TIENE QUE N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.UNA DE LAS COSAS MAS LLAMATIVAS DE LOS SISTEMAS DE Números ES Q A PARTIR DE UN PEQ GRUPO DE PROP PUEDEN DEDUCIRSE TODAS LAS Demás.PROP DE LA SUMA a+b: (a+b)ER: 1)ASOCIATIVA DE LA SUMA: a+(b+c)=(a+b)+c 2)EXISTENCIA DEL CERO:0+a=a 3)EXISTENCIA DE OPUESTO PARA CADA aE R EXISTE OTRO a'ER:a'+a=0 4)CONMUTATIVA DE LA SUMA a+b=b+a; PROP DEL PRODUCTO: 5)ASOCIATIVA DEL PROD a(b*c)=(a*b)c 6)EXISTENCIA DE LA UNIDAD 1a=a 7)CONMUTATIVA DEL PROD ab=ba 8)DISTRIBUTIVA a(b+c)=ab+ac 9)EXISTENCIA DE INV PARA CADA NUMERO REAL≠0 A ER EXISTE OTRO A 0 ER TAL Q 0a=1; PROP PARA EL ORDEN:EXISTE UN SUBCONJUNTO DE Vacío PCR,LLAMADOS NºREALES⁺ Y DENOTADOS P=R⁺ TAL QUE 10)CERRADO PARA SUMAS Y PRODUCTOS a,bEP-->a+bEP Y abEP 11)LEY DE LA Tricotomía PARA CADA ER SE DA UNA Y SOLO UNA DE LAS CONDIC SIGU A EP, O BIEN a=0 O BIEN -aEP 12)LEY DEL SUPREMO:CADA SUBCONJUNTO NO VACÍO A⊆R ACOTADO SUPERIORMENTE TIENE UN SUPREMO. LEY DEL Ínfimo: CADA SUBCONJUNTO NO Vacío AcR,ACOTADO INFERIOMENTE TIENE UN Ínfimo. OSEA, EXISTE LA MAYOR DE SUS COTAS INFERIORES. LLAMAMOS VALOR ABSOLUTO DE UN NºREAL A ER,AL SIG Nº⁺O CERO .DESIGUALDAD TRIANGULAR:∀a,b ∈ R se tiene |a +b| ≤ |a| +|b|. TEOREMA1: PROP AQUIMEDIANA:PARA TODO NºREAL A ER EXISTE UN NATURAL n=1+----+1ER TAL Q A+c>+c><>

ORDENES DE MAGNITUD.SIST INT (SI)

DEF1:SE LLAMA Progresión Geométrica A LA Sucesión QUE SE OBTIENE MULTIPLICANDO UN NºFIJO b CONSIGO MISMO. A b SE LE LLAMA BASE DE LA Progresión. SE LLAMA ORDEN DE MAGNITUD A CADA NIVEL DE LA Progresión. EJ: UNA SERIE Geométrica BASADA EN 10 COMO MULTIPLICADOR ES REALMENTE SIMPLE. DOS OBJETOS DIFIEREN POR UN ORDEN DE MAGNITUD SI EL VALOR DE ALGUNA PROP Q SE HA METIDO ES 10 VECES LA DEL OTRO. 2ORDENES SI ES 10X10=100,3VECES SI ES 10X10X10=1000 VECES,ETC.PERO ESTAS SERIES SON CADA VEZ +GRANDES SUS Nº DE MANERA Q SE HA ELABORADO PARA ELLO UNA NITACION MAS COMPACTA. SI ES SOLO UN 10->10¹,SI SON 10X10->10², DE ESTE MODO DECIMOS QUE 10 ES LA BASE Y 1,2,3 ES EL EXPONENTE Y TODO EL CONJUNTO SE DENOMINA NUMERO EXPONENCIAL. SE SUELEN NOMBRAR PRIMERO CON LA BASE Y Después LA POTENCIA (EJ: 10⁴ ES DIEZ A LA CUARTA POTENCIA, DIEZ A LA CUARTA Y A VECES TMB SE UTILIZA DIEZ ELEVADO A CUATRO). EN LOS CASOS DE 10² Y 10³POR RAZONES DE Índole Geométrica SE LES LLAMA DIEZ AL CUADRADO Y DIEZ AL CUBO RESPECTIVAMENTE. ADEMAS DE SER UNA FORMA BREVE DE ESCRIBIR Números GRANDES, LOS Números EXPONENCIALES SIMPLIFICAN AL Máximo LA Multiplicación Y LA División, DE MANERA QUE, SI TENEMOS 10⁴*10⁵=10⁹VEMOS QUE SE SUMAN LOS EXPONENTES. LA División ES LA INVERSA, DE MANERA QUE SE RESTAN LOS EXPONENTES (PONER EJ). PERO LA División NOS DICE ALGO MAS (EJ:10⁴/10⁴=1) ESTO SUCEDE PORQUE CUATRO MENOS CUATRO ES CERO Y TODO NUMERO ELEVADO A CERO=1. LA IMPORTANTE UTILIDAD QUE TIENE 10⁰ ES QUE TENGAN SENTIFO TODOS LOS EXPONENTES NEGATIVOS. DE MODO QUE UNA Progresión Geométrica CONTINUA También HACIA ABAJO, ALCANZANDO ORDENES DE MAGNITUD CADA VEZ MAS BAJOS. SE LLAMA PROGESION Geométrica GENERALIZADA EN BASE b A LA Sucesión DE Nº,bⁿ DONDE n ES UN NºENTERO, POS O NEG. Bⁿ DE LA Sucesión ES UN ORDEN DE MAGNITUD (b^-∞.....Bⁿ.....B^∞)

SIST INT:

EL SIST Métrico DECIMAL SE Estableció EN Francia (1970).LAS REGLAS DEL S.I. SE UNIFORMARION MEDIANTE UN ACUERDO INTERNACIONAL EN LA Época DE LOS 50. ESTE SISTEMA ESTABLECE DE FORMA Rígida UNOS TIPOS Estándar DE Pronunciación,DELETREO,Abreviación,ETC. EL S.I. DEFINE NO SOLO UNA UNIDAD DE MEDIDA UNIDIMENSIONAL (m) SINO DE TIEMPO(s), DE MASA (g) Y DE VOLUMEN (L) AUNQ LO IMP DEL S.I. NO SON LAS UNIDADES INICIALES DE MEDIDA SINO LA FORMA DE ESCALARLAS EN BASE 10 Y SUS ORDENES DE MAGNITUD (TABLA A PARTE). AUNQUE HAY INFINITAS MAGNITUDES, EL INTERVALO 10^-24, 10²⁴ ES SUFICIENTE PARA MEDIR Prácticamente TODAS LAS CANTIDADES DE LA NATURALEZA (EJ.LA CANTIDAD DE INFO ALMACENADA EN UN GRAMO DE ADN ES DEL ORDEN 10²¹)

RANGO DE UNA MATRIZ.TEOREMA DE ROUCHÈ-FROBENIUS

LLAMAMOS RANGO DE UNA MATRIZ "A", Y LO DENOTAMOS POR r(A) AL Nº DE FILAS NO NULAS DE SU FORMA NORMAL DE HERMITE POR FILAS. LA 1ºPROP DEL RANGO ES LA DESIGUALDAD SIGUIENTE: SI "A" ES DE ORDEN mxn, ENTONCES r(A)≤ min {m,n}.Demostración: POR SU PROPIA Definición, EL RANGO DE "A"ES MENOR O IGUAL QUE EL NºDE FILAS DE "A", r(A)≤m POR OTRA PARTE, SI r(A)=r ENTONCES EN CADA UNA DE LAS r FILAS,NO NULAS DE SU FORMA NORMAL DE HERMITE HABRÁ UN 1 COMO PIVOTE. POR LO TANTO, H Y También A HABRÁ DE TENER AL MENOS r COLUMNAS. ES DECIR, r(A)=≤n. AHORA VEMOS COMO EL Cálculo DE UN DETERMINANTE DA UNA FORMA DE CARACTERIZAR Y CALCULAR EL RANGO DE UNA MATRIZ. SI AEMmxn(K) ENTONCES EL RANGO DE A COINCIDE CON EL MAYOR ORDEN DE UNA SUBMATRIZ CUADRADA REGULAR DE A. Demostración: SEA H LA FORMA NORMAL DE HERMITE POR FILAS DE A. SI r(A)=r LA SUBMATRIZ QUE CONTIENE r PIVOTES ES UNA SUBMATRIZ REGULAR, DE H, DE ORDEN r ADEMÁS COMO TIENE H TIENE EXACTAMENTE r FILAS, NO NULAS, TODA SUBMATRIZ DE H ES DE ORDEN r+1 ES SINGULAR.

TEOREMA DE ROUCHÈ-FROBENIUS:

DADO UN SISTEMA DE m ECUACIONES LINEALES CON n Incógnitas, CON MATRIZ AMPLIADA (A|B) SE VERIFICA 1)EL SISTEMA ES COMPATIBLE SI Y SOLO SI r(A)=r(A|B) 2)EL SIST ES COMPATIBLE DETERMINADO SI Y SOLO SI r(A)=r(A|B)=n. Demostración: SI H ES LA FORMA DE HERMITE POR FILAS DE (A|B), ENTONCES A SERA LA MATRIZ H' QUE SE OBTIENE DE H ELIMINANDO LA ULTIMA COLUMNA. SABEMOS Q EL SIST ES COMPATIBLE SI Y SOLO SI EN SU FORMA ESCALONADA REDUCIDA NO APARECE UNA IGUALDAD 0=b. ES DECIR, SI H' Y H TIENEN EL MISMO Nº DE FILAS NO NUDAS. EQUIVALENTEMENTE SI r(A)=r(A|B). AHORA CUANDO r(A)=r(A|B)=r Existirán r Incógnitas PPALES Y EL SIST SERA COMPATIBLE DETERMINADO SI Y SOLO SI TODAS SUS Incógnitas SON PPALES. O SEA CUANDO r=n. LLAMAMOS RESPECTIVAMENTE MARTIZ DE LAS Incógnitas X DE LOS Términos INDEPENDIENTES B Y DEL SISTEMA "A" A LOS SIGUIENTES: X=; B=; A=AHORA POR LA Definición DEL PRODUCTO DE MATRICES LAS n ECUACIONES DEL SISTEMA DAN LA SIGUIENTE IGUALDAD MATRICIAL: A*X=B. DECIMOS QUE ES UN SIST DE CRAMER CUANDO LA MATRIZ DEL SISTEMA A ES UNA MATRIZ INVERTIBLE O REGULAR. EN ESTE CASO, POR EL TEOREMA DE ROUCHÈ-FROBENIUS SE TIENE.

REGLA DE CRAMER:

UN SIST DE n ECUACIONES LINEALES CON n Incógnitas ES DE CRAMER SI Y SOLO SI ES COMPATIBLE DETERMINADO. EN ESE CASO LA Solución Única SE PUEE OBTENER MATRICIALMENTE COMO X=A^-1*B. Demostración: SI EL SIST A*X=B ES DE CRAMER, LA MATRIZ A Tendrá INVERSA A^-1 POR LO TANTO, PODEMOS MULTIPLICAR POR ELLA Y OBTENEMOS: X=A^-1*AX=A^-1B

DETERMINANTES

EL CONCEPTO DE DETERMINANTE RESPONDE A LA SIGUIENTE PREGUNTA: ¿EXISTE UNA Aplicación COMPUTACIONAL BUENA QUE HAGA CORRESPONDER A CADA MATRIZ CUADRADA AEMn(K) UN ESCALAR DEL MISMO CUERPO, det(A)=|A|EK? ESTO ES, PARA CADA MATRIZ ARBITRARIA A=DECIMOS QUE UNA Aplicación DETERMINANTE ES COMPUTACIONALMENTE BUENA CUANDO VVERIFICA LAS SIGUIENTES 4 PROP: 1)MULTIPLICATIVA->det(AB)= det(A)det(B) 2)ADITIVA->Para cada índice i, det(v₁,..., vᵢ + vᵢ’ ,..., ) = det(v₁,..., vᵢ ,..., )+det(v₁,..., vᵢ’ ,..., ) 3)LINEAL->PARA CADA INDICE i Y CADA ESCALAR kEK, det(v₁,...,kvᵢ ,..., ) = k* det(v₁,..., vᵢ ,..., ) 4)ALTERNANTE-> PARA CADA DOS INDICES i,j, det(V₁.... Vᵢ ,...,  ,... ) = −det(v₁,..., v j ,..., vᵢ ,... ) | AHORA COMO |A|=|AI|=|A|*|I|. LO PRIMERO Q OBSERVAMOS ES Q SI EL DET DE LA MATRIZ UNIDAD FUERA CERO, det(I)=|I|=0 También SALE CERO, EL DE CUALQUIER MATRIZ CUADRADA DEL MISMO ORDEN |A|=|A|*0=0 POR LO TANTO SUPONDREMOS QUE det(I)=|I|≠0 PERO ENTONCES COMO |I|=|I*I|=|I|*|I| PODEMOS MULTIPLICAR 1/|I|EK Y OBTENEMOS QUE 1= {1/|I|}*|I|= {1/|I|}* |I|*|I|=|I| OSEA SI QUEREMOS Q LA Aplicación DETERMINANTE SEA MULTIPLICATIVA Y NO SEA CERO, EL DET DE CUALQUIER MATRIZ UNIDAD DEBE VALER UNO, det(I_n)=1 AHORA PODEMOS DETERMINAR LOS DET DE LAS MATRICES ELEMENTALES.

TIPO 1

COMO LA MATRIZ E_ij SE OBTIENE DE LA MATRIZ IDENTIDAD, ITERCAMBIANDO LAS FILAS i,j ENTRE SI DE LA PROP ALTERNANTE OBTENEMOS QUE det(E_ij)= -|I|=-1 TIPO 2:
COMO LA MATRIZ E_i (K) SE OBTIENE DE LA MATRIZ IDENTIDAD, MULTIPLICANDO LA FILA i POR UN ESCALAR k SE TIENE LA PROPIEDAD LINEAL. REALIZANDO n VECES EL MISMO ARGUMENTO SE RAZONA QUE EL DETERMINANTE DE CUALQUIER MATRIZ DIAGONAL ESTÁ UNÍVOCAMENTE DETERMINADO Y ES IGUAL AL PRODUCTO DE LOS ELEMENTOS DE SU DIAGONAL PPAL det(E_i (k))=k*|I|=k*1=k TIPO 3:
E=E_ij(k) ES LA MATRIZ QUE SE OBTIENE DE LA MATRIZ IDENTIDAD Sumándole A LA FILA i LA FILA j MULTIPLICADA POR UN ESCALAR k->det(E_ij(k))=det (I)+k=1+k*0=1 | EN PARTICULAR HEMOS OBTENIDO Q SI EXISTE UNA Aplicación DETERMINANTE NO NULA, QUE SATISFACE LAS 4 PROP ANTERIORES(MULTIPLICATIVA, ADITIVA, LINEAL Y ALTERNANTE).ENTONCES LOS DET DE LAS MATRICES ELEMENTALES Están Unívocamente DETERMINADOS Y SON ≠0 | det(I_n)=1 ; det(E_ij)=-1 ; det(E_i(K))=k ; det(E_ij(k))=1 POR LA PROPIEDAD MULTIPLICATIVA SI "E" ES UNA MATRIZ ELEMENTAL Y B=E A ENTONCES |B|=|E|*|A| Y POR TANTO |A|≠0 SI Y SOLO SI |B|≠0. SI A ES UNA MATRIZ TRIANGULAR, SU DET ESTA Unívocamente DETERMINADO POR EL PRODUCTO DE LOS ELEMENTOS DE SU DIAGONAL PPAL. A TIENE UN DET DISTINTO DE CERO SI Y SOLO SI ES INVERTIBLE. DADAD LA MATRIZ CUADRADA A, SE TIENE det(A)=det(A^t)

DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL

DADO UN CONJUNTO DE VECTORES {V_1,...,V_n} DE UN K VECT.V. LLAMAMOS Combinación LINEAL (c.L.) DE ESTOS VECTORES A CUALQUIER VECTOR DE LA FORMA λ₁ V₁+...+λ₂ V_n; CON λ₁...λ_n EK ESCALARES ARBITRARIOS. DECIMOS QUE S= = {v1, ... , vn},  ES LINEALMENTE(l.D.) SI EL VECTOR CERO ES c.L. NO TRIVIAL DE ELLOS. ESTO ES SI λ1v1 + ··· + λnvn = 0. PARA CIERTOS ESCALARES λ1,...,λn ∈ K NO TODOS SON NULOS. EN CASO CONTRARIO, λ1 = ··· = λn = 0, DECIMOS QUE EL CONJUNTO ES LINEALMENTE INDEPENDIENTE(l.I.)SOBRE EL CUERPO K.

PROPIEDADES DE LA DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA:

1) Si 0 ∈ {v1, ... , vn} ENTONCES {v1, ... , vn} ES l.D. 2) {u} ES l.I. SI Y SOLO SI u≠0 3) SI {v1, ... , vn} ES l.D. ENTONCES{v1, ... , vn,u} ES l.D. 4) {v1, ... , vn,u} ES l.I. ENTONCES {v1, ... , vn} ES l.I.

Demostración

1) Basta comprobar que existe una c.L. No trivial, con 1 el escalar que multiplica al vector cero y ceros el resto de escalares. 2) Por la propiedad anterior, el conjunto {0} es l.D. Sólo queda razonar que si u 6= 0 entonces de la igualdad λu = 0 se deduce λ = 0. Pero esto es la propiedad 3 de la aritmética vect. 3) Es inmediato, porque la misma c.L., no trivial, del conjunto {v1, ... , vn} nos sirve para el conjunto {v1, ... , vn,u} 4) Si {v1, ... , vn} fuera l.D., por la propiedad anterior, se tiene que {v1, ... , vn,u} sería l.D. Lo que contradice la hipótesis.Por las propiedades de la aritmética vectorial, podemos despejar vectores (que tengan coeficiente distinto de cero) de un miembro a otro en una igualdad vectorial. Entonces, se puede demostrar fácilmente el siguiente: {v1, ... , vn} es l.D. Si y sólo si uno de sus vectores es c.L. Del resto.Las definiciones anteriores pueden extenderse fácilmente a conjuntos infinitos de vectores.Si S ⊂ V es un conjunto arbitrario de vectores, decimos que S  es l.D. Si existe algún subconjunto finito suyo que sea l.D. Por el contrario, cuando todo subconjunto de S sea l.I. Decimos que S es l.I.

PRODUCTO VECTORIAL

El producto vectorial de dos vectores, que definiremos, es un producto interno en R³. O sea, una aplicación de R³*R³ en R³ tal que a una pareja de vectores (u, v) le hace corresponder otro vector u ∨ v (escrito a veces u × v) que llamaremos su producto vectorial, externo o cruzado (cross product). Llamamos producto vectorial de u, v ∈ R³ al vector u × v = (x₂ y₃ − x₃ y₂; x₃ y₁ − x₁ y₃ ;x₁ y₂ − x₂ y₁) Con esta definición, si u = v entonces u ×u = 0. De esto se obtiene que el producto vectorial no es conmutativo ni asociativo.

PROP DEL PRODUCTO VECTORIAL:

1) u × v es ortogonal a u y a v. 2) (λu +µv)×w = λ(u ×w)+µ(v ×w) 3) u × v = −v × u y también u × u = 0. 4) u × v = 0 si y sólo si existen escalares λ,µ ∈ R tales que λu = µv.

MODULO DEL PRODUCTO VECTORIAL:

Si α = u^c es el ángulo formado por dos vectores en Rⁿ Entonces|u × v|= |u||v|sin(α) --> Aplicación: EJ:Área de un triángulo en R³ . Dados los puntos p = (1, 2, 0), q = (2, 5,−2) y r = (4,−1,−2) en R³ . Si se calcula, sucesivamente u = = q − p = (2−1, 5−2, −2−0) = (1, 3,−2) |v = = r − p = (4−1, −1−2, −2−0) = (3,−3,−2) |u × v = ((−2)∗3−(−3)∗(−2), 3∗(−2)−1∗(−2), 1∗(−3)−3∗3) = (−12, −4, −12) \\ |u × v|= |(−12, −4, −12)| ==17.4356 Entonces, por el lema anterior y la definición de la altura de un triángulo como h = |v|sin(α), se tiene que el área del triángulo vale S = base ∗altura/2= |u||v|sin(α)/2= |u × v|/2= 17.4356/2= 8.7178.

PRODUCTO TRIPLE ESCALAR:

Llamamos producto triple escalar al número real [u, v,w] = u ·(v ×w) El valor absoluto de un producto triple escalar siempre se puede interpretar como el volumen del paralelepípedo formado por los 3 vectores. Ya que el volumen es el producto del área, S = |v × w|, del paralelogramo definido por v, w por la altura h de u sobre dicho paralelogramo.

TEOREMA DE LOS SENOS.Cálculo DE PARALAJES

El área del triángulo vale S = (a ∗h1)/2 = (b ∗h2)/2 = (c ∗h3)/2 del dibujo se obtiene Sen(β) = h1/c , Sen(γ) = h1/b , Sen(α) = h2/c = h3/c  Despejando, h1 = Sen(β)∗c = Sen(γ)∗b, h2 = Sen(α)∗c, h3 = Sen(α)∗b Ahora, por la primera igualdad del área, tenemos a∗Sen(β)∗c = a∗h1 = b∗h2 = b∗Sen(α)∗c =⇒ a∗Sen(β) = b∗Sen(α) y también a∗Sen(γ)∗b = a∗h1 = c∗h3 = c∗Sen(α)∗b =⇒ a∗Sen(γ) = c∗Sen(α) dividiendo en ambas igualdades, obtenemos finalmente Cálculo DE PARALAJES:
Para calcular la distancia desde un punto, A o B, hasta un objeto X al cual no podemos acceder, basta efectuar una triangulación. O sea, tomar la referencia de dos puntos hasta los cuales sí podemos acceder y medir los ángulos de visualización del objeto desde ambos puntos. Se tiene

entonces que el triángulo ABX puede resolverse por conocerse un lado AB y los tres ángulos α, β y el p = β−α llamado paralaje del objetivo. Del teorema de los senos se obtiene que: y despejando  Paralaje diurna:
Cuanto más lejos está el objeto, más pequeña es la paralaje p. Cuando el objeto X está demasiado lejano, es conveniente aumentar la longitud del segmento base, a fin de que la medida del ángulo p tenga sentido. Por ej., haciendo que la longitud AB sea un radio terrestre. En el cálculo de la paralaje diurna, para el cálculo de distancia de objetos en el sistema solar se mide el ángulo desde el mismo punto de observación. A en un intervalo de horas desde la culminación hasta la puesta del astro.De esta forma, uno de los ángulos a medir hacemos que sea recto, α = 90⁰ y el despeje de una de las distancia es más sencillo, ya que sen90⁰ = 1. Si  α = 90⁰: ||Paralaje anual.
Cuando se trata de medir distancias hasta 250 años luz, es necesario ampliar la longitud del segmento hasta el radio medio de la órbita de la tierra alrededor del Sol, es decir, de unos 150 millones de kilómetros.El ángulo que se mide se llama la paralaje anual de la estrella, en la que también uno de los ángulos es recto y la segunda observación se hace desde el mismo punto a los 6 meses midiendo p sobre el fondo de estrellas fijas.De esta forma, también el despeje de la distancia es sencillo: BX = AB/Sen(p)En base a esto, se define una unidad de medida llamada parsec (paralaje second).Como consecuencia de la definición de parsec, si la paralaje, p, de una estrella se mide en segundo de arco, entonces su distancia en parsec es d= 1/p.