Cálculo de Ganancia y Potencia en Sistemas de Recepción de Señales RF

Un sistema de señales está formado por etapas amplificadoras y atenuadoras conectadas en cascada desde la antena receptora. Se proporcionan las siguientes ganancias/pérdidas en potencia para cada etapa:

• $G_1 = 2 \text{ dB}$
• $L_2 = -20 \text{ dB}$ (Atenuación)
• $G_3 = 3 \text{ dB}$
• $L_4 = 0.01 \text{ (lineal)}$
• $G_5 = 25 \text{ dB}$ (Se asume que la quinta ganancia es $G_5$ para evitar confusión con $G_1$)

Cálculo de la Ganancia Total ($G_T$)

Para calcular la ganancia total en decibelios, primero debemos convertir todos los valores a la escala de decibelios (dB). Recuerde que las ganancias en dB se suman y las atenuaciones en dB se restan (o se suman si ya están expresadas como valores negativos).

Conversión de $L_4$ a dB:

La ganancia lineal es $A_{lin} = 0.01$. La conversión a dB es:

$$G_{4\text{ dB}} = 10 \log_{10}(A_{lin}) = 10 \log_{10}(0.01) = 10 \times (-2) = -20 \text{ dB}$$

Por lo tanto, $L_4 = -20 \text{ dB}$.

Ganancia Total en dB:

La ganancia total es la suma algebraica de las ganancias y atenuaciones en dB:

$$G_T = G_1 + L_2 + G_3 + G_{4\text{ dB}} + G_5$$ $$G_T = 2 \text{ dB} + (-20 \text{ dB}) + 3 \text{ dB} + (-20 \text{ dB}) + 25 \text{ dB}$$ $$G_T = (2 + 3 + 25) - (20 + 20) = 30 - 40 = -10 \text{ dB}$$

Relación Lineal de Ganancia:

La ganancia total lineal ($A_T$) es:

$$A_T = 10^{(G_T / 10)} = 10^{(-10 / 10)} = 10^{-1} = 0.1$$

a) Voltaje a la salida ($V_{ppout}$)

Se tiene una señal de entrada $V_{ppin} = 2.8 \text{ mVpp}$. La impedancia de entrada es $Z_{in} = 75 \Omega$ y la impedancia de salida final es $Z_{out} = 50 \Omega$.

Paso 1: Calcular la Potencia de Entrada ($P_{in}$) en dBm o W.

Primero, convertimos el voltaje pico a pico ($V_{pp}$) a voltaje eficaz ($V_{eff}$):

$$V_{eff} = \frac{V_{pp}}{2\sqrt{2}}$$ $$V_{eff, in} = \frac{2.8 \text{ mV}}{2\sqrt{2}} \approx 0.9899 \text{ mV} \approx 0.9899 \times 10^{-3} \text{ V}$$

Potencia de entrada ($P_{in}$):

$$P_{in} = \frac{V_{eff, in}^2}{Z_{in}} = \frac{(0.9899 \times 10^{-3} \text{ V})^2}{75 \Omega} \approx 1.306 \times 10^{-8} \text{ W} = 13.06 \text{ nW}$$

Nota: El cálculo original indicaba $P_{in} = 13 \text{ nW}$, lo cual es consistente con la aproximación.

Paso 2: Calcular la Potencia de Salida ($P_{out}$) usando la ganancia total en dB.

$$G_T = 10 \log_{10} \left( \frac{P_{out}}{P_{in}} \right) \implies \frac{P_{out}}{P_{in}} = 10^{(G_T / 10)} = 10^{(-10/10)} = 0.1$$ $$P_{out} = P_{in} \times 0.1 = (13.06 \text{ nW}) \times 0.1 = 1.306 \text{ nW}$$

Paso 3: Calcular el Voltaje Eficaz de Salida ($V_{eff, out}$).

$$V_{eff, out} = \sqrt{P_{out} \times Z_{out}} = \sqrt{(1.306 \times 10^{-9} \text{ W}) \times 50 \Omega} \approx \sqrt{6.53 \times 10^{-8}} \approx 2.555 \times 10^{-4} \text{ V}$$ $$V_{eff, out} \approx 0.2555 \text{ mV}$$

Paso 4: Convertir a Voltaje Pico a Pico ($V_{ppout}$).

$$V_{ppout} = V_{eff, out} \times 2\sqrt{2}$$ $$V_{ppout} \approx (0.2555 \times 10^{-3} \text{ V}) \times 2\sqrt{2} \approx 0.7228 \times 10^{-3} \text{ V} = 0.7228 \text{ mVpp}$$

Resultado a): El voltaje a la salida es aproximadamente $\mathbf{0.723 \text{ mVpp}}$.

b) Nuevo valor de $G_1$ para obtener $V_{ppout} = 5 \text{ mVpp}$

Se desea $V_{ppout} = 5 \text{ mVpp}$. Las demás ganancias/pérdidas se mantienen: $L_2 = -20 \text{ dB}$, $G_3 = 3 \text{ dB}$, $L_4 = -20 \text{ dB}$, $G_5 = 25 \text{ dB}$. Sea $G'_1$ la nueva ganancia de la primera etapa.

Paso 1: Calcular la Potencia de Salida Deseada ($P'_{out}$).

$$V_{eff, out} = \frac{V_{ppout}}{2\sqrt{2}} = \frac{5 \text{ mV}}{2\sqrt{2}} \approx 1.7677 \text{ mV} = 1.7677 \times 10^{-3} \text{ V}$$ $$P'_{out} = \frac{V_{eff, out}^2}{Z_{out}} = \frac{(1.7677 \times 10^{-3} \text{ V})^2}{50 \Omega} \approx 6.25 \times 10^{-8} \text{ W} = 62.5 \text{ nW}$$

Paso 2: Calcular la Ganancia Total Requerida ($G'_T$).

La potencia de entrada sigue siendo $P_{in} \approx 13.06 \text{ nW}$ (basada en $V_{ppin} = 2.8 \text{ mVpp}$ y $Z_{in} = 75 \Omega$).

$$G'_T = 10 \log_{10} \left( \frac{P'_{out}}{P_{in}} \right) = 10 \log_{10} \left( \frac{62.5 \text{ nW}}{13.06 \text{ nW}} \right) \approx 10 \log_{10}(4.7856)$$ $$G'_T \approx 6.80 \text{ dB}$$

Paso 3: Calcular la nueva ganancia $G'_1$.

$$G'_T = G'_1 + L_2 + G_3 + L_4 + G_5$$ $$6.80 \text{ dB} = G'_1 + (-20 \text{ dB}) + 3 \text{ dB} + (-20 \text{ dB}) + 25 \text{ dB}$$ $$6.80 \text{ dB} = G'_1 + (-12 \text{ dB})$$ $$G'_1 = 6.80 \text{ dB} + 12 \text{ dB} = \mathbf{18.80 \text{ dB}}$$

Nota: El cálculo original obtuvo $G_T = 6.8 \text{ dB}$ y luego resolvió para $G_3$ en lugar de $G_1$, pero el resultado final para $G_3$ fue $19.82 \text{ dB}$, lo cual es consistente si se asume que $G_1=2 \text{ dB}$ era fijo en ese paso. Aquí se corrige para encontrar el valor de $G_1$ necesario.

c) Voltaje de entrada necesario ($V'_{ppin}$) si $G_3$ se modifica para obtener $V_{ppout} = 5 \text{ mVpp}$

En este caso, se asume que $G_1 = 2 \text{ dB}$, $L_2 = -20 \text{ dB}$, $L_4 = -20 \text{ dB}$, $G_5 = 25 \text{ dB}$. Se desea $V_{ppout} = 5 \text{ mVpp}$, lo que implica $P'_{out} = 62.5 \text{ nW}$ (calculado en b)).

Paso 1: Calcular la Ganancia Total Requerida ($G''_T$).

La ganancia total requerida para lograr $P'_{out} = 62.5 \text{ nW}$ con la potencia de entrada original $P_{in} \approx 13.06 \text{ nW}$ es $G''_T \approx 6.80 \text{ dB}$ (como en el apartado b)).

Paso 2: Calcular la nueva ganancia $G''_3$.

$$G''_T = G_1 + L_2 + G''_3 + L_4 + G_5$$ $$6.80 \text{ dB} = 2 \text{ dB} + (-20 \text{ dB}) + G''_3 + (-20 \text{ dB}) + 25 \text{ dB}$$ $$6.80 \text{ dB} = G''_3 - 13 \text{ dB}$$ $$G''_3 = 6.80 \text{ dB} + 13 \text{ dB} = \mathbf{19.80 \text{ dB}}$$

Paso 3: Calcular el Voltaje de Entrada Necesario ($V'_{ppin}$).

Si la ganancia total es $G''_T = 6.80 \text{ dB}$ y la potencia de salida deseada es $P'_{out} = 62.5 \text{ nW}$, calculamos la potencia de entrada necesaria ($P'_{in}$):

$$G''_T = 10 \log_{10} \left( \frac{P'_{out}}{P'_{in}} \right) \implies \frac{P'_{out}}{P'_{in}} = 10^{6.80/10} \approx 4.786$$ $$P'_{in} = \frac{P'_{out}}{4.786} = \frac{62.5 \text{ nW}}{4.786} \approx 13.059 \text{ nW}$$

Ahora convertimos $P'_{in}$ a $V'_{ppin}$ usando $Z_{in} = 75 \Omega$:

$$V'_{eff, in} = \sqrt{P'_{in} \times Z_{in}} = \sqrt{(13.059 \times 10^{-9} \text{ W}) \times 75 \Omega} \approx 3.132 \times 10^{-4} \text{ V}$$ $$V'_{ppin} = V'_{eff, in} \times 2\sqrt{2} \approx (3.132 \times 10^{-4} \text{ V}) \times 2\sqrt{2} \approx 8.858 \times 10^{-4} \text{ V}$$ $$V'_{ppin} \approx \mathbf{0.886 \text{ mVpp}}$$

Nota: El cálculo original parece haber utilizado $V_{eff, out} = 1.7 \times 10^{-3} \text{ V}$ (que corresponde a $5 \text{ mVpp} / \sqrt{2}$ en lugar de $5 \text{ mVpp} / (2\sqrt{2})$) y luego calculó $P_{in}$ basado en esa $V_{eff, out}$ y $Z_{out}=50 \Omega$, lo cual es incorrecto para determinar la entrada necesaria. El resultado final de $V_{ppout} = 5 \text{ mvpp}$ obtenido en el original parece ser una reescritura del objetivo, no el resultado del cálculo de entrada.

2. Cálculo de Potencia Mínima y Voltajes en un Enlace de Cable Coaxial

Un enlace basado en cable coaxial presenta unas pérdidas de $6 \text{ dB/km}$. La sensibilidad del equipo receptor es $P_{sensibilidad} = -30 \text{ dBm}$.

a) Potencia mínima del emisor ($P_{emisor}$) para un enlace de $5 \text{ km}$

Paso 1: Calcular la Pérdida Total del Enlace ($L_{total}$).

$$L_{total} = (6 \text{ dB/km}) \times 5 \text{ km} = 30 \text{ dB}$$

Dado que son pérdidas, la atenuación total es $L_{total} = -30 \text{ dB}$.

Paso 2: Calcular la Potencia Mínima del Emisor ($P_{emisor}$).

La potencia de salida del emisor debe compensar la pérdida para que la potencia recibida sea igual a la sensibilidad:

$$P_{recibida} = P_{emisor} + L_{total}$$ $$-30 \text{ dBm} = P_{emisor} - 30 \text{ dB}$$ $$P_{emisor} = -30 \text{ dBm} + 30 \text{ dB} = 0 \text{ dBm}$$

Conversión a Vatios (W):

$$P_{emisor} = 10^{(0 \text{ dBm} / 10)} \text{ mW} = 1 \text{ mW} = \mathbf{1 \times 10^{-3} \text{ W}}$$

b) Voltaje a la entrada y a la salida del enlace

Usamos la potencia calculada en el apartado a): $P_{emisor} = P_{in} = 1 \text{ mW}$ y $P_{recibida} = P_{out} = -30 \text{ dBm} = 1 \text{ nW}$ ($10^{-9} \text{ W}$).

Impedancias: $Z_{in} = 500 \Omega$ (entrada del enlace) y $Z_{out} = 750 \Omega$ (salida del enlace).

Voltaje de Entrada ($V_{in}$):

$$V_{eff, in} = \sqrt{P_{in} \times Z_{in}} = \sqrt{(1 \times 10^{-3} \text{ W}) \times 500 \Omega} = \sqrt{0.5} \approx \mathbf{0.707 \text{ V}}$$

Nota: El cálculo original obtuvo $0.223 \text{ V}$, que corresponde a $\sqrt{0.05}$ o $P_{in}=100 \mu W$. Se corrige usando $P_{in}=1 \text{ mW}$.

Voltaje de Salida ($V_{out}$):

$$V_{eff, out} = \sqrt{P_{out} \times Z_{out}} = \sqrt{(1 \times 10^{-9} \text{ W}) \times 750 \Omega} = \sqrt{7.5 \times 10^{-7}} \approx 8.66 \times 10^{-4} \text{ V}$$ $$V_{eff, out} \approx \mathbf{0.866 \text{ mV}}$$

Nota: El cálculo original obtuvo $0.27 \text{ V}$, que corresponde a $\sqrt{0.0729}$ o $P_{out} \approx 36 \mu W$. Se corrige usando $P_{out}=1 \text{ nW}$.