Cálculo de una extracción en contracorriente con etapas múltiples

Este es un sistema esquemático de un sistema de extracción en contracorriente con etapas múltiples que contiene n etapas ideales. La velocidad de alimentación se representa por L₀ y la del disolvente suministrado por V_n+1. Por la etapa 1 representa el extremo del sistema por el que se introduce la alimentación y desde el cual sale el flujo superior de concentración más elevada de soluto. La etapa n representa el extremo del sistema por el que se efectúa la alimentación del disolvente puro y del que sale el flujo inferior con la concentración más baja en soluto. Vemos que este sistema es análogo al de una columna destilación en los platos debajo de la alimentación (sección de agotamiento).

Consideraremos que conocemos L₀ y su composición X₀, V_n+1 y su composición Y_n+1, y el contenido en soluto del flujo inferior que sale de sistema X_(A)n. Consideremos también que disponemos información para determinar el lugar geométrico de las composiciones del flujo inferior. Veamos la solución gráfica para obtener el número de etapas teóricas.

El balance de materia sobre el total del sistema es:  L₀ + V_n+1 = L_n + V₁

y el balance para los componentes A ó S es:            2) L₀.X₀ +V_n+1 . Y _n+1 = L_n X_n + V₁.Y₁

Si llamamos M a la suma de las corrientes L₀ y V_n+1, el punto X_m que representa la composición de M, puede situarse sobre el diagrama, a partir el hecho de que debe estar situado sobre la línea recta que une los puntos X₀ e Y_n+1, y que su posición sobre la línea se determina por la relación V_n+1/L₀. De las ecuaciones 1 y 2, M también es la suma de las corrientes L_n y V₁. Por consiguiente los puntos X_n, X_m, Y₁ deben estar situados sobre la misma recta. Puesto que se conoce el lugar geométrico de las composiciones del flujo inferior, el punto X_n se sitúa en este lugar geométrico con el valor X_(A)n.

El punto Y₁: Se construye la recta que une X_n y X_m, y determinando su intersección con el lugar geométrico de las composiciones de flujo superior. En este momento se conoce las composiciones de todas las corrientes terminales. Si escribimos las ecuaciones de balance de materia para la parte del sistema desde la etapa 1 hasta la j+1, y se simplifica:

3) L₀ – V₁ = L_j – V_j+1

4) L₀.X₀ – V₁.Y₁ = L_j.X_j – V_j+1.Y_j+1

En las que le tapar j puede ser un etapa cualquiera de sistema (j = 1,2,3.......,n). Hagamos que R quede definida por:

            R = L₀ – V₁

            R.X_R = L₀.X₀ – V₁.Y₁

Entonces las ecuaciones 3 y 4:

            5) R = L₀ – V₁ = L₁ – V₂ = ............ L_n – V_n+1

            6) R.X_R = L₀.X₀ – V₁.Y₁ = L₁.X₁ – V₂.Y₂ =.....L_n.X_n – V_n+1.Y_n+1    

El punto X_R se localiza por la intersección de las rectas que pasan por los puntos X₀,Y₁ y X_n, Y_n+1, puesto que según las ecuaciones 5 y 6 ha de pertenecer a ambas.

La solución gráfica puede comenzarse en cualquiera de los extremos del sistema. Si empezamos por la etapa 1, como el punto Y₁ es conocido, el X₁ se determina usando la relación de etapa ideal, es decir construyendo la línea que pasa por origen (si todo el soluto está disuelto) y el punto Y₁, determinando su intersección con la línea de composición del flujo inferior. Como X₁ y X_R son conocidos puede determinarse Y₂ por la intersección de la línea que pasa por X₁ y X_R y la línea de composiciones de flujo superior, ya que R = L₁ - V₂  ;  R_XR = L₁.X₁ - V₂.Y₂.

El procedimiento puede repetirse hasta que el valor obtenido de X_A sea menor o igual a X_(A)n. El número de etapas ideales necesarias es igual a número de rectas de reparto, líneas que pasan por el origen y los puntos Y₁, Y₂, etc.. Para el gráfico es 2.