Cálculo Esencial: Rectas Tangentes, Extremos y Fundamentos de Integración

Recta Tangente y Recta Normal

Recta Tangente

Definimos la recta tangente al gráfico de una función derivable f en el punto de abscisa a y ordenada f(a) como la recta a la cual pertenece dicho punto y cuya pendiente es f'(a).

Ecuación de la Recta Tangente

La ecuación de la recta tangente es:

y_t = f'(a)(x-a) + f(a)

Recta Normal

La recta normal al gráfico de una función derivable, en un punto del mismo, se define como la recta que pasa por dicho punto y es perpendicular a la tangente. Es decir, tiene una pendiente de -1/f'(a) si f'(a) ≠ 0.

Ecuación de la Recta Normal

Su ecuación es:

y_n = -1/f'(a) * (x-a) + f(a)

Extremos Relativos: Definición y Condiciones de Existencia

Se denominan extremos de una función a sus máximos y mínimos, ya sean locales o absolutos.

Máximo Absoluto

El valor de la ordenada f(c) es el máximo absoluto de la función f en el conjunto A si y solo si f(c) no es superado por ninguno de los valores f(x) que la función alcanza en dicho conjunto A.

Mínimo Absoluto

El valor de la ordenada f(c) es el mínimo absoluto de la función f en el conjunto A si y solo si f(c) no supera a ninguno de los valores f(x) que la función alcanza en dicho conjunto A.

Máximo Relativo o Local

Consideremos una función f y un valor c, punto interior de su dominio D. El valor f(c) es el máximo relativo de la función f si y solo si existe un entorno del punto c tal que los valores que toma f en los puntos de dicho entorno no superan el valor f(c).

Mínimo Relativo o Local

Consideremos una función f y un valor c, punto interior de su dominio D. El valor f(c) es el mínimo relativo de la función f si y solo si existe un entorno del punto c tal que el valor f(c) no supera a ninguno de los valores de f(x) en dicho entorno.

Integral: Conceptos Fundamentales y Métodos

Definición de Integral

La integral es la operación inversa a la derivación, también denominada antiderivación o integración indefinida.

Si f es una función definida en un conjunto D, la función F, definida en el mismo conjunto, es una primitiva de f si y solo si F es derivable en D y f es su derivada.

Propiedades de la Integral Indefinida

1. La integral indefinida de la suma algebraica de dos o más funciones es igual a la suma algebraica de sus integrales:

   ∫(f1(x) + f2(x)) dx = ∫f1(x) dx + ∫f2(x) dx

2. La integral indefinida del producto de una constante por una función es igual al producto de la constante por la integral de la función:

   ∫k · f(x) dx = k ∫f(x) dx

3. La integral indefinida de la diferencial de una función es igual a la suma de la función y de una constante arbitraria:

   ∫dF(x) = F(x) + C

Métodos Elementales de Integración

Integrales Inmediatas

Se denominan así a aquellas que, como su nombre indica, no necesitan de técnicas especiales de integración. Por ejemplo:

• ∫cos(x) dx = sen(x) + C puesto que d/dx(sen(x)) = cos(x)
• ∫sen(x) dx = -cos(x) + C puesto que d/dx(-cos(x)) = sen(x)