Cálculo de Distancias en Geometría Descriptiva: Métodos Fundamentales

Distancia entre Dos Puntos

Para determinar la verdadera magnitud de la distancia entre dos puntos A y B en el sistema diédrico, se siguen los siguientes pasos:

1. Unimos las proyecciones A2 con B2 y A1 con B1.
2. Desde A2, trazamos una línea horizontal hasta la proyección B2, formando una perpendicular. Esta distancia se denomina 'd'.
3. Trazamos una línea perpendicular a la proyección A1-B1, pasando por B1 (hacia abajo).
4. Transportamos la diferencia de cotas (d) con el compás, haciendo centro en B1. El punto resultante se denomina B0.
5. Marcamos esta diferencia (d) sobre la línea perpendicular trazada en el paso 3.
6. Unimos el punto B0 con A1. La longitud de este segmento representa la Verdadera Magnitud (V. M.) de la distancia entre A y B.

Distancia de un Punto a un Plano

Para calcular la distancia de un punto A a un plano α, se traza una recta perpendicular al plano desde el punto A. La intersección de esta recta con el plano define el segmento cuya verdadera magnitud es la distancia buscada.

1. Trazamos la proyección r2, una recta perpendicular a α2 que pasa por A2.
2. Identificamos H2, el punto donde r2 corta la Línea de Tierra (L.T.).
3. De manera similar, trazamos la proyección r1, una recta perpendicular a α1 que pasa por A1.
4. Identificamos V1, el punto donde r1 corta la L.T.
5. Trazamos una vertical desde H2 hasta r1 para obtener H1, y una vertical desde V1 hasta r2 para obtener V2.
6. Definimos un plano auxiliar β. Su traza β2 coincide con r2, y su traza β1 es perpendicular a la L.T.
7. El punto V2 es la intersección de β2 y α2.
8. El punto H1 es la intersección de β1 y α1.
9. Trazamos una vertical desde V2 para obtener V1, y una vertical desde H1 para obtener H2 (H2 de la recta r).
10. La recta r2 se redefine como s2 (r2 = β2 = s2).
11. Unimos V1 y H1 para obtener la proyección s1.
12. El punto B1 es la intersección de r1 y s1.
13. Trazamos una vertical desde B1 hasta s2 para obtener B2.
14. Desde B2, trazamos una línea horizontal hasta cortar la vertical de A2-A1. Esta distancia se denomina 'x'.
15. Trazamos una semirrecta perpendicular a r1 que pasa por A1.
16. Marcamos la diferencia de cotas (x) sobre esta semirrecta para obtener el punto A0.
17. Unimos A0 con B1. La longitud de este segmento representa la Verdadera Magnitud (V. M.) de la distancia.

Distancia de un Punto a un Plano Paralelo a la Línea de Tierra (L.T.)

Para determinar la distancia de un punto A a un plano α que es paralelo a la Línea de Tierra, se utiliza un plano de perfil auxiliar para visualizar la verdadera magnitud.

1. Trazamos una recta vertical que representa un plano vertical de perfil.
2. Con el compás, pinchamos en el punto donde el plano de perfil corta la L.T. y abrimos hasta α1. Realizamos el desabatimiento.
3. Unimos el punto de corte del plano de perfil con α2 y el punto obtenido del abatimiento para definir la traza α3.
4. Trazamos una línea horizontal desde A2 que se extienda más allá de la vertical del plano de perfil.
5. Trazamos una línea horizontal desde A1 hasta la vertical del plano de perfil y desabatimos este punto.
6. Trazamos una vertical desde el punto obtenido en el paso 5 hasta la línea del paso 4. El punto de intersección es A3.
7. Trazamos una recta r3, perpendicular a α3, que pasa por A3.
8. El punto B3 es la intersección de α3 con r3.
9. Unimos A3 con B3. La longitud de este segmento representa la Verdadera Magnitud (V. M.) de la distancia.

Distancia de un Punto a una Recta

Para determinar la distancia más corta de un punto A a una recta r, se utiliza el método de la recta de máxima pendiente o un plano auxiliar perpendicular a la recta.

1. Identificamos V1, el punto donde r1 corta la L.T., y H2, el punto donde r2 corta la L.T.
2. Trazamos una vertical desde H2 hasta r1 para obtener H1, y una vertical desde V1 hasta r2 para obtener V2.
3. Trazamos una línea horizontal s2 que pasa por A2.
4. Trazamos una línea s1, perpendicular a r1, que pasa por A1.
5. Identificamos V1, el punto donde s1 corta la L.T.
6. Trazamos una vertical desde V1 hasta s2 para obtener V2.
7. Trazamos la traza α2, perpendicular a r2, que pasa por V2.
8. Trazamos la traza α1, perpendicular a r1, desde el punto donde α2 corta la L.T.
9. La proyección r1 se redefine como β1.
10. Trazamos una vertical desde el punto donde β1 corta la L.T. para obtener β2.
11. El punto V2 es la intersección de α2 y β2.
12. El punto H1 es la intersección de α1 y β1.
13. Trazamos una vertical desde H1 hasta la L.T. para obtener H2.
14. La proyección r1 se redefine como t1 (r1 = β1 = t1).
15. Unimos V2 y H2 para obtener la proyección t2.
16. El punto B2 es la intersección de t2 y r2.
17. Trazamos una vertical desde B2 hasta t1 para obtener B1.
18. Unimos A2 con B2.
19. Unimos A1 con B1.
20. Desde B2, trazamos una línea horizontal hasta la vertical de A2-A1. La distancia desde este punto hasta A2 se denomina 'x'.
21. Trazamos una semirrecta perpendicular al segmento A1-B1, pasando por B1.
22. Transportamos la diferencia de cota (x) sobre esta semirrecta para obtener el punto B0.
23. Unimos A1 con B0. La longitud de este segmento representa la Verdadera Magnitud (V. M.) de la distancia.

Distancia entre Dos Planos Paralelos

Para hallar la distancia entre dos planos paralelos (α y β), se traza una recta perpendicular a ambos planos. La distancia entre los puntos de intersección de esta recta con cada plano, en verdadera magnitud, será la distancia buscada.

1. Trazamos una recta r2, perpendicular a α2 y a β2, que pasa por un punto cualquiera.
2. Trazamos una recta r1, perpendicular a α1 y a β1, que pasa por un punto cualquiera.
3. La proyección r2 se redefine como γ2.
4. Trazamos una vertical desde el punto donde γ2 corta la L.T. hacia abajo para obtener γ1.
5. Identificamos V2, el punto donde γ2 corta a β2, y H1, el punto donde γ1 corta a β1.
6. Trazamos una vertical desde V2 hasta la L.T. para obtener V1.
7. Trazamos una vertical desde H1 hasta la L.T. para obtener H2.
8. Unimos V1 con H1 para obtener la proyección t1.
9. La proyección r2 se redefine como t2 (r2 = γ2 = t2).
10. El punto V2 es la intersección de t2 y α2.
11. Trazamos una vertical desde V2 hasta la L.T. para obtener V1.
12. La proyección r2 se redefine como s2 (r2 = γ2 = t2 = s2).
13. Trazamos una paralela a t1 para obtener s1.
14. El punto A1 es la intersección de s1 y r1.
15. El punto B1 es la intersección de t1 y r1.
16. Trazamos una vertical desde A1 hasta r2 para obtener A2.
17. Trazamos una vertical desde B1 hasta r2 para obtener B2.
18. El punto A2 es la intersección de la vertical desde A1 con r2.
19. El punto B2 es la intersección de la vertical desde B1 con r2.
20. Desde B2, trazamos una línea horizontal hasta la vertical que une A2 y A1.
21. La distancia desde el punto de corte de B2 con la vertical A2-A1 hasta A2 se denomina 'x'.
22. Trazamos una semirrecta perpendicular a r1 que parte de A1.
23. Transportamos la diferencia de cota (x) sobre esta semirrecta para obtener el punto A0.
24. Unimos A0 con B1. La longitud de este segmento representa la Verdadera Magnitud (V. M.) de la distancia.

Distancia entre Dos Rectas Paralelas

Para determinar la distancia entre dos rectas paralelas (r y s), se traza un segmento perpendicular a ambas. La verdadera magnitud de este segmento representa la distancia buscada.

1. Unimos las proyecciones r2 y r1 desde un punto cualquiera. El punto de corte con r2 es A2, y con r1 es A1.
2. Trazamos una línea horizontal t2 que pasa por A2.
3. Trazamos una línea t1, perpendicular a r1 y s1, que pasa por A1. Identificamos V1, el punto donde t1 corta la L.T.
4. Trazamos una vertical desde V1 hasta t2 para obtener V2.
5. Trazamos la traza α2, perpendicular a r2 y s2, que pasa por A2 y se extiende hasta la L.T.
6. Trazamos una paralela a t1 que se una al punto donde α2 corta la L.T. para obtener α1.
7. La proyección s2 se redefine como β2.
8. Trazamos una línea β1, perpendicular a la L.T., desde el punto donde β2 corta la L.T.
9. El punto V2 es la intersección de α2 y β2; el punto H1 es la intersección de α1 y β1.
10. El punto V1 es donde V2 corta la L.T.
11. Unimos V1 y H1 para obtener la proyección m1.
12. La proyección s2 se redefine como m2 (s2 = β2 = m2).
13. El punto B1 es la intersección de m1 y s1.
14. Trazamos una vertical desde B1 hasta m2 para obtener B2.
15. Unimos A2 con B2 y A1 con B1.
16. Desde B2, trazamos una línea horizontal hasta la vertical que une A2 y A1. La distancia desde este punto hasta A2 se denomina 'x'.
17. Trazamos una semirrecta perpendicular al segmento A1-B1. Transportamos la diferencia de cotas (x) sobre esta semirrecta para obtener el punto A0.
18. Unimos A0 con B1. La longitud de este segmento representa la Verdadera Magnitud (V. M.) de la distancia.