Cálculo Diferencial Aplicado: Optimización de Áreas y Pendientes de Rectas Tangentes

Hallar los puntos en que la recta tangente a la gráfica de la función f(x)=x³ es paralela a la recta de ecuación y=3x+2.

Solución:

La recta y=3x+2 tiene pendiente
3. Las rectas paralelas tienen la misma pendiente, así la pendiente de la tangente tiene que ser 3 y como la pendiente de la tangente a la gráfica en un punto es igual a la derivada en ese punto, tenemos que encontrar un punto en el que la derivada valga 3. F ´(x)=3x² f ´(x)=3->3x²=3->x=±1 Si x=-1->f(-1)=-1->P(-1,-1) Si x=1->f(1)=1->Q(1,1) Luego los puntos en que la recta tangente a la gráfica de la función f(x)=x³ es paralela a la recta de ecuación y=3x+2 son los puntos P(-1,-1) y Q(1,1).---------------------------------------------------------------------------------------------------------Dada la parábola y=(1/3)x², y la recta y=9, hallar las dimensiones y el área del rectángulo de área máxima que tiene un lado en la recta y los otros dos vértices en la gráfica de la parábola.

Solución:

Si un vértice que está en la parábola es el punto P(x,y) la base del rectángulo vale 2x y la altura del rectángulo es 9-y. Por tanto el área del rectángulo es S=2x·(9-y) y como el punto P es un punto de la parábola cumple que y=(1/3)x² y el área será función de x: S(x)=2x·(9-(1/3)x²)=18x-(2/3)x³. La condición para que haya extremo relativo es que la derivada primera se anule: S ´(x)=18-2x² S ´(x)=0?18-2x²=0?X=±3, tomo el valor x=3 ya que en el punto P la abscisa es x>0 S ´´(x)=-4x?S ´´(3)=-12<0 Para x=3 S´(3)=0 y S ´´(3)<0?S(x) tiene un máximo para x=3. El punto P(3,3) Las dimensiones del rectángulo son: Largo: 6 unidades de longitud Ancho: 3 unidades de longitud Área del rectángulo: 18 unidades de superficie.
Se divide un alambre de 100 m de longitud en dos segmentos de longitud x y 100-x. Con el de longitud x se forma un triángulo equilátero, y con el otro un cuadrado. Sea f(x) la suma de las áreas. ¿Para qué valor de x dicha suma es mínima? Solución: El lado del triángulo es l=(1/3)x y la altura es h=l·sen(60°)=(1/3)x·((v3)/2)=((v3)/6)x y el área del triángulo es S1=(1/2)l·h=(1/2)(1/3)x·((v3)/6)x=((v3)/(36))x² El lado del cuadrado es ((100-x)/4) y el área del cuadrado es S2=(((100-x)²)/(16)) f(x)=S1+S2=((v3)/(36))x²+(((100-x)²)/(16)) Para calcular el mínimo de f(x), cálculo los valores que anulan la derivada primera.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         -