Cálculo de Deformaciones y Elipses Indicatrices de Tissot en Cartografía

Deformación a partir de Ejes de la Elipse Indicatriz de Tissot

Deformación Lineal

Sea la deformación lineal definida por el radio del círculo $ds = 1$. Las coordenadas transformadas de los ejes son $x' = a \cdot \cos(u)$ y $y' = b \cdot \sin(u)$, donde $a$ y $b$ representan los semiejes de la elipse indicatriz.

• Radio transformado: $ds' = \sqrt{x'^2 + y'^2} = \sqrt{a^2 \cos^2(u) + b^2 \sin^2(u)}$
• Módulo de deformación lineal ($k_1$): Representa la relación entre la distancia transformada y la original: $$k_1 = \frac{\overline{PA'}}{\overline{PA}} = \frac{ds'}{ds} = \sqrt{a^2 \cos^2(u) + b^2 \sin^2(u)}$$
• Elevando al cuadrado: $k_1^2 = a^2 \cos^2(u) + b^2 \sin^2(u)$

Deformación Angular y Condiciones de Conformidad

Para que una proyección sea conforme, la deformación angular debe ser nula ($\Delta u = 0$) y la escala debe ser uniforme en todas las direcciones ($a = b = 1$), lo que transforma la elipse en un círculo y elimina las direcciones principales.

• Relación de tangentes: $\tan(u') = \frac{y'}{x'} = \frac{b \sin(u)}{a \cos(u)} = \frac{b}{a} \tan(u)$
• Máxima deformación angular: Ocurre cuando los ángulos $u$ y $u'$ son complementarios ($u + u' = \pi/2$). $$\tan(u' - u) = \frac{\tan(u') - \tan(u)}{1 + \tan(u') \tan(u)} = \frac{(b - a)\tan(u)}{a + b \tan^2(u)}$$
• Simplificando para el valor máximo: $$\tan(u' - u) = \frac{b - a}{2 \sqrt{a \cdot b}}$$

Deformación Superficial

El módulo de deformación superficial ($k_2$) se define como la razón entre el área de la elipse y el área del círculo original:

• $$k_2 = \frac{dS'}{dS} = \frac{\text{Área}_{\text{elipse}}}{\text{Área}_{\text{círculo}}} = \frac{\pi a b}{\pi ds^2} = a \cdot b$$
• Si $k_2 = 1$ y $a = \frac{1}{b}$, la proyección es equidistante o equivalente.

Cálculo de los Semiejes de la Elipse Indicatriz de Tissot

A partir de las propiedades geométricas de la elipse, se establecen las siguientes relaciones fundamentales:

• $k_{1p}^2 + k_{1m}^2 = a^2 + b^2$
• $k_{1m} \cdot k_{1p} \cdot \sin\left(\frac{\pi}{2} + \theta\right) = a \cdot b = k_2$
• $(a + b)^2 = k_{1p}^2 + k_{1m}^2 + 2k_2$
• $(a - b)^2 = k_{1p}^2 + k_{1m}^2 - 2k_2$

Expresados en función de los coeficientes de la primera forma fundamental:

• $k_{1m} = \frac{\sqrt{f(\phi)^2 + g(\phi)}}{p}$
• $k_{1p} = \frac{\sqrt{f(\lambda)^2 + g(\lambda)}}{r}$
• $k_2 = \frac{g(\phi)f(\lambda) - g(\lambda)f(\phi)}{p \cdot r}$

Condiciones de Conformidad Generales

Para cumplir con la conformidad, el módulo de deformación lineal debe ser independiente de la dirección. Si la proyección es conforme, no existen direcciones principales y las transformaciones de meridianos y paralelos se cortan ortogonalmente a $90^\circ$.

Obtención de Direcciones Principales

La ecuación general para determinar las direcciones principales está dada por:

• $$k_1^2 = \frac{E'}{p^2} \sin^2(\alpha) + \frac{G'}{r^2} \cos^2(\alpha) + \frac{F'}{p \cdot r} \sin(2\alpha)$$
• Ecuación cuadrática en función de $\tan(\alpha)$: $$\tan^2(\alpha) - \tan(\alpha) \left[ \frac{\frac{E'}{p^2} - \frac{G'}{r^2}}{\frac{F'}{p \cdot r}} \right] - 1 = 0$$
• La condición de ortogonalidad principal se cumple cuando $F' = 0$, lo que implica que $\frac{E'}{p^2} = \frac{G'}{r^2}$.

Condiciones de Conformidad de Cauchy-Riemann

A partir de la latitud geodésica, igualando las expresiones de deformación a cero, se obtienen las dos condiciones fundamentales de Cauchy-Riemann:

• $$\frac{1}{p} f(\phi) = -\frac{1}{r} g(\lambda)$$
• $$\frac{1}{p} g(\phi) = \frac{1}{r} f(\lambda)$$

Latitud Creciente o Isométrica (Mercator)

Para que un sistema cartográfico sea considerado isométrico, se debe poder expresar la Primera Forma Fundamental en función de estas coordenadas.