Cálculo del Campo Eléctrico de un Dipolo y Fundamentos de Electricidad
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Campo Eléctrico Generado por un Dipolo
Un Dipolo se define como un par de cargas eléctricas de igual magnitud, de distinto signo, separadas una distancia $l$. $r$ es la distancia entre el punto medio del dipolo y el punto donde se va a analizar el campo. $E$ es el Campo Eléctrico (vector).
1. Dipolo Eléctrico Horizontal (Sobre el Eje)
Cálculo Analítico
Considerando el punto de análisis sobre el eje horizontal que une las cargas:
Las magnitudes de los campos individuales son:
- $E_1 = \frac{k \cdot q_1}{(r - l/2)^2}$
- $E_2 = \frac{k \cdot q_2}{(r + l/2)^2}$
El campo resultante ($E_r$) es la diferencia vectorial:
$$E_r = E_1 - E_2 = k \cdot q \left[ \frac{1}{(r - l/2)^2} - \frac{1}{(r + l/2)^2} \right]$$
Simplificando la expresión (desarrollando el numerador y utilizando la diferencia de cuadrados en el denominador):
$$E_r = k \cdot q \left[ \frac{(r + l/2)^2 - (r - l/2)^2}{(r^2 - l^2/4)^2} \right] = \frac{k \cdot q \cdot (2 \cdot r \cdot l)}{(r^2 - l^2/4)^2}$$
Aproximación para Distancias Grandes ($r \gg l$)
Si la distancia $r$ es mucho mayor que la longitud $l$, el término $l^2/4$ se aproxima a cero:
$$E_r \approx \frac{k \cdot q \cdot (2 \cdot r \cdot l)}{(r^2)^2} = \frac{2 \cdot k \cdot q \cdot r \cdot l}{r^4} = \frac{2 \cdot k \cdot q \cdot l}{r^3}$$
Definiendo el Momento Eléctrico como $p = q \cdot l$:
La expresión final es: $$E_r = \frac{2 \cdot k \cdot p}{r^3}$$
Conclusión: El campo eléctrico resultante en un punto ubicado sobre la recta que une las cargas del dipolo es directamente proporcional al momento eléctrico del mismo e inversamente proporcional al cubo de la distancia entre el punto considerado y el punto medio del dipolo.
2. Dipolo Eléctrico Vertical (Plano Ecuatorial)
Se considera el campo eléctrico en un punto $B$ ubicado sobre la vertical (plano ecuatorial) que pasa por el centro del dipolo, a una distancia $r$. Se asume que $r$ es grande comparada con la longitud del dipolo ($r \gg l$).
La distancia $d$ desde cada carga al punto $B$ es: $d = \sqrt{r^2 + (l/2)^2}$.
Cálculo Analítico
Dado que las cargas son iguales ($q_1 = q_2 = q$) y la distancia $d$ es la misma, las magnitudes de los campos son iguales:
$$E_1 = E_2 = \frac{k \cdot q}{r^2 + l^2/4}$$
Debido a la simetría, las componentes verticales ($E_y$) se anulan. El campo resultante ($E_r$) es la suma de las componentes horizontales ($E_x$):
$$E_r = 2 \cdot E_x = 2 \cdot E \cdot \sin(\phi)$$
Donde $\sin(\phi)$ se calcula a partir del triángulo formado:
$$\sin(\phi) = \frac{l/2}{\sqrt{r^2 + l^2/4}}$$
Reemplazando en la expresión de $E_r$:
$$E_r = 2 \cdot \left[ \frac{k \cdot q}{r^2 + l^2/4} \right] \cdot \left[ \frac{l/2}{(r^2 + l^2/4)^{1/2}} \right] = \frac{k \cdot q \cdot l}{(r^2 + l^2/4)^{3/2}}$$
Aproximación para Distancias Grandes ($r \gg l$)
Si $r \gg l$, el término $l^2/4$ se aproxima a cero:
$$E_r \approx \frac{k \cdot q \cdot l}{(r^2)^{3/2}} = \frac{k \cdot q \cdot l}{r^3}$$
Sustituyendo el momento eléctrico $p = q \cdot l$:
$$E_r = \frac{k \cdot p}{r^3}$$
Conclusión: El campo eléctrico resultante situado sobre la vertical (plano ecuatorial) que pasa por el centro del dipolo es directamente proporcional al momento eléctrico del mismo e inversamente proporcional al cubo de la distancia entre el punto considerado y el centro del dipolo.