Cálculo de arboles y ejes

Ejes:

son aquellos elementos giratorios o fijos destinados a soportar cargas sin transmitir potencia desempeñando un papel estructural como si fueran vigas y en esas condiciones se
calculan exclusivamente a la flexión.

Árboles:

son aquellos que además de servir de soporte transmiten momentos de rotación. Por su utilización se pueden clasificar en dos clases generales: árboles de transmisión y árboles
de máquina.

Árboles de transmisión:

son aquellos utilizados para distribuir la fuerza motriz de la fuente motora a las distintas máquinas operadoras. Modernamente ante el accionamiento individual su
importancia prácticamente se ha anulado. Se subdividen en principales, secundarios y de contramarcha. Están solicitados fundamentalmente a la torsión debido al momento torsor que
transmiten, pero como generalmente son de gran longitud, debido a su propio peso y a los elementos montados sobre ellos (polea, ruedas dentadas, etc.) en algunos casos no son
despreciables los efectos de flexión.

Árboles de máquinas:

son aquellos que forman parte integral de las mismas máquinas. Las solicitaciones preponderantes dependerán de la aplicación. Los husos o husillos son ciertos
árboles cortos que suelen utilizarse en máquinas herramientas en las cuales es importante la rigidez de los elementos para asegurar la exactitud del trabajo. Se calculan entonces teniendo
en cuenta la deformación. Por su forma constructiva se pueden clasificar en cuatro tipos:

Lisos, Escalonados, Ranurados y Acodados

Tanto en árboles como en los ejes se distinguen tres partes principales: 

Los gorrones

Es la zona de apoyo sobre los cojinetes de los soportes, que generalmente se hallan diferenciados con un reborde para impedir posibles desplazamientos axiales.

Las cabezas

Es la zona donde se alojan los órganos de transmisión (cubos de engranajes, poleas, etc.) deben tornearse de forma cilíndrica como los gorrones y por regla general se hacen de diámetro superior al resto para disponer los chaveteros.

Los cuellos o brazos

Son las zonas situadas entre el gorrón y la cabeza, que suelen perfilarse.

Carácterísticas :

Para diámetros pequeños, 5 a7,5 cm. (2 a 3), se construyen de sección constante, entonces las partes mencionadas no se diferencian y se confunden sin solución de continuidad. Si los diámetros son mayores es común entonces perfilarlos con gorrones diferenciados. Los árboles y ejes se construyen generalmente de acero de bajo y medio porcentaje de carbono, materiales dúctiles aptos para las solicitaciones a que están sometidos. Para diámetros pequeños suelen ser laminados, para diámetros relativamente grandes, forjados. En algunos
casos, si las tensiones no son muy importantes, pueden ser de fundición de hierro de sección anular.

Un paso previo al dimensionamiento es el trazado de los diagramas de solicitaciones.

En general las principales fuerzas exteriores, cargas y reacciones que pueden solicitar a árboles y ejes son: 1º) Peso propio, que generalmente se desprecia. 2º) Peso de los órganos de máquinas montados sobre ellas. 3º) Acción de las fuerzas provenientes de la función de los órganos de máquinas montados.

Diagramas de momentos torsores

El diagrama de los momentos torsores que solicitan al árbol o eje dependerá de la posición de las poleas y ruedas dentadas, conductoras y conducidas.
Desde el punto de vista de la torsión, el efecto de las poleas conductoras es el de aplicación de  pares torsores iguales a los momentos motores transmitidos por ellas al árbol, los cuales son
absorbidos o equilibrados por los pares reacciones de las poleas o ruedas conducidas (de la  misma magnitud que los momentos transmitidos a través de ellas) y por los pares debidos a las
fuerzas de rozamiento en los apoyos, que también tienden a oponerse al movimiento. La consideración de los momentos debidos al rozamiento en los apoyos reduce en cierta
medida el momento torsor máximo que solicita al árbol, sin embargo en general, a los efectos de los cálculos estáticos, no se considera el rendimiento de la transmisión y no se tienen en
cuenta entonces las pérdidas de potencias en los apoyos. Puede resolverse cualquier problema de determinación del diagrama de momentos torsores, para ello bastará conocer la potencia que se transmite por cada una de las poleas y ruedas, conductoras y conducidas. Si no se considera el rozamiento en los apoyos estos no influyen en el diagrama de momentos, que solo dependerá entonces de la posición de las poleas. En general convendrá disponer las poleas o ruedas motrices entre las conducidas y no en un extremo, para evitar que el árbol trabaje en algún sector con algún momento torsor de la magnitud del momento motor:

Diagramas de momentos flectores:

Los pesos de los órganos montados sobre los árboles y ejes, las resultantes de traslación Q y F de las tensiones en las correas y cables y de las fuerzas que se transmiten en el contacto entre ruedas dentadas están aplicadas sobre los ejes de las piezas y las solicitan a la flexión.  En general estas fuerzas no serán coplanares por lo cual es conveniente descomponerlas en dos direcciones normales que se eligen adecuadamente, por ejemplo horizontal y vertical.  Tendremos entonces dos diagramas de momentos flectores, uno debido a las componentes verticales de las fuerzas (sobre el plano vertical que contiene al eje de la pieza) otro debido a las componentes horizontales (sobre el plano horizontal que contiene al eje de la pieza). Esto  en el supuesto de que la pieza tuviera eje horizontal, ó sensiblemente horizontal, en general se deberán disponer las cargas según dos direcciones normales sobre planos normales que  contengan al eje de la pieza. Para determinar el momento flector resultante en una sección cualquiera bastará componer vectorialmente los momentos parciales.

Mf= raíz M fv  cuadrado+M fh cuadrado

Diagramas de esfuerzos axiales:

Además de las solicitaciones de torsión y flexión es común que aparezcan en árboles y ejes solicitaciones axiales Fa, debidas a causas diversas:

Peso propio y peso de los órganos apoyados, en el caso de árboles o ejes verticales (turbinas de instalaciones hidroeléctricas). Componentes axiales de las fuerzas que se desarrollan en la transmisión con ruedas dentadas o ruedas de fricción.

Dimensionamiento resistente de árboles flexotorsionados:

En el caso más general el árbol se hallará sometido a una solicitación combinada de flexión, torsión y solicitación axial, que en cada sección tendrá valores determinados que pueden deducirse de los diagramas: Mf, Mt, Fa. ( El esfuerzo de corte que indudablemente solicitará al árbol al existir un esfuerzo de flexión,
puede despreciarse por que no es de magnitud importante frente a las restantes solicitaciones y además por que las ƒämáx. Correspondientes no aparecen en los mismos puntos que las
ƒämáx.Correspondientes al Mt) En una sección transversal de la pieza, las fibras más solicitadas se encuentran sobre el plano del momento flector resultante Mf( que se obtiene componiendo Mfv y Mfh ).

Explique qué quiere decir que los árboles y ejes estén sometidos a un estado de tensiones combinados dentro de flexo torison: 

En el caso más general, en árbol se hallara sometido a una solicitación combinada de flexión, torsión y solicitación axial, que en cada sección tendrá valores determinados que pueden deducirse de los diagramas Mf, Mt, Fa.

Se trata entonces de un estado combinado de tensiones. En consecuencia es necesario aplicar alguna de las teorías de rotura. En este aspecto aparecen algunas discrepancias según las
normas, códigos, autores, etc. Que según sus criterios aplican teorías distintas y por lo tanto los resultados no son concordantes. Incluso en algunos casos los resultados son modificados para
adecuarlos mejor a las condiciones reales. En consecuencia y para dar un panorama general y más completo del dimensionamiento de árboles y ejes se desarrollarán a continuación los
criterios más importantes.

Teoría de la máxima tensión tangencial

Normas ASME:

El criterio de aplicar la teoría de la máxima tensión tangencial se basa en que los resultados de esta teoría responden muy bien para materiales dúctiles tales como el acero y/o semi-dulce con los cuales se construyen generalmente los árboles. Según dicha teoría, para el dimensionamiento debe aplicarse: formulas celu
Las hipótesis supuestas han sido con solicitaciones estáticas, en consecuencia las fórmulas anteriores no contemplan fenómenos de fatiga, impacto, concentración de tensiones, etc.
Para subsanar esta falencia se puede optar por reducir la ƒãadm o aumentar las solicitaciones de acuerdo a la influencia de aquellos fenómenos. En general los Reglamentos Alemanes reducen las ƒãadm, en cambio las Reglamentaciones Americanas incrementan las solicitaciones afectándolas por coeficientes mayores que la unidad.

Casos particulares de las fórmulas obtenidas por aplicación de la teoría de la máxima tensión tangencial:

Ejes sometidos a solicitaciones de flexión;

Mt = 0 ; Fa = 0, formulas cel.  La forma de los ejes en cuanto a su perfil longitudinal se refiere, dependerá en general de la magnitud de las cargas y de la distancia entre apoyos. Si las cargas no son muy grandes y la distancia entre apoyos no es apreciable suelen construirse de sección circular uniforme, de acuerdo con la dimensión que resulte de la sección más solicitada. Si por el contrario se trata de soportar cargas entre apoyos separados apreciablemente, es más racional y económico perfilar los ejes con cierta tendencia al dimensionamiento del sólido de igual resistencia, con mayor razón aún si las cargas son de gran magnitud. Conocidas las cargas, puede trazarse el correspondiente diagrama de momentos flectores en base al cual pueden determinarse los diámetros del eje en cada sección considerándolo como sólido de igual resistencia a la flexión. Sobre el perfil que resulte se determina, en base a una serie de consideraciones, el perfil definitivo del eje. Si el diagrama de momentos flectores es lineal, se demuestra que el perfil longitudinal del eje considerado sólido de igual resistencia a la flexión, es una parábola cúbica. En efecto, para la sección genética.

Ventajas de perfilar árbol o eje

  A pesar del mayor costo de maquinado que supone perfilar un árbol o eje, se obtienen ventajas  respecto de la pieza o sección constante que pueden hacer preferible la operación: 1. Menor cantidad de material - Menor peso.  2. Cojinetes de diámetro menor, que en consecuencia tendrán menor rozamiento y pérdidas de potencia.

Dimensionamiento por rigidez de árboles flexotorsionados:

Otro criterio de cálculo es fijar deformaciones máximas admisibles: En máquinas herramientas, por ejemplo, la rigidez de sus elementos es un factor fundamental para asegurar la precisión requerida en sus operaciones, los árboles y ejes de máquinas herramientas deben en consecuencia calcularse o verificarse teniendo en cuenta la deformación.

Rigidez de torsión:

  Se imponen ciertas restricciones a la deformación debida a la torsión, desplazamientos relativos de las secciones transversales, para evitar dificultades en el buen funcionamiento de la transmisión (vibraciones excesivas, decalajes importantes de las poleas, etc.).

Rigidez de flexión:

Con el mismo criterio en el caso de vigas de estructuras resistentes, se fija para los ejes u árboles, como condición de rigidez, una flecha máxima para evitar dificultades en su buen funcionamiento (vibraciones excesivas, variaciones de las distancias entre ejes de rotación que producen inconvenientes en el perfecto engrane de ruedas dentadas, etc.).
En términos generales, la flecha máxima, admisible dependerá del uso a que se destinará la  pieza y de los elementos montados sobre ella. Una exigencia corriente en árboles de
transmisión es una flecha máxima de 0.8 mm.Por metro de luz entre apoyos. El problema que se presenta para la verificación de la rigidez de flexión consiste en determinar la flecha máxima de una pieza de dimensiones y material conocidos sustentada en las condiciones reales de trabajo y bajo un estado de cargas determinado (el más desfavorable).