Binomio de Newton y Determinantes: Conceptos y Propiedades Fundamentales

Binomio de Newton

Esta fórmula nos ayudará a encontrar cualquier término sin necesidad de desarrollar el binomio completo:

T_k+1 = C^k_n · x^n-k · a^k

Ejemplo de desarrollo

Para hallar el tercer término (t₃) en un desarrollo donde t_k+1 = t₂₊₁:

• t₃ = C²₅ (5x)^5-2 (3/5 x²)²
• t₃ = (5 · 4 / 2) · 125x³ · (9/25x⁴) = 450x⁷

Propiedades

• En un polinomio homogéneo de grado n, el desarrollo del binomio tiene n+1 términos.
• Las potencias de x decrecen de 1 en 1 desde n hasta 0.
• Las potencias de a crecen de 1 en 1 desde 0 hasta n.
• El exponente de a es una unidad menor que el término correspondiente.
• Los coeficientes de los términos equidistantes son iguales.
• Si n es impar, el desarrollo del binomio tiene dos términos centrales con igual coeficiente.
• La suma de los coeficientes del binomio es igual a 2ⁿ.

Cálculo de los términos centrales

• Si n es par, habrá un solo término central: n/2 + 1.
• Si n es impar, existen dos términos centrales: (n+1)/2 y (n+3)/2.

Determinantes

Están formados por números llamados elementos dispuestos en filas y columnas. Representan el valor escalar de una matriz cuadrada.

Conceptos clave

• Valor del determinante: Es una suma algebraica de n! términos, donde cada uno es el producto de n elementos, uno por cada fila y columna.
• Diagonal principal: Contiene los elementos con igual subíndice (i=j).
• Diagonal secundaria: Contiene los elementos que se ubican sobre la recta imaginaria que une el vértice superior derecho con el inferior izquierdo.
• Menor relativo: Es el determinante de orden n-1 que se obtiene al suprimir la fila y la columna de un elemento dado.
• Adjunto: Es el menor relativo afectado por el signo (+) si la suma de los subíndices del elemento es par, o por el signo (-) si es impar.

Propiedades de los determinantes

• Si se permutan dos filas o columnas entre sí, el valor del determinante cambia de signo.
• Si los elementos de dos filas o columnas son iguales, el valor es cero.
• Si cada elemento de una fila o columna se multiplica por k, el valor del determinante queda multiplicado por k.
• Si a los elementos de una fila o columna se le suman los correspondientes de otra fila o columna multiplicados por una constante, el determinante no altera su valor.
• Si todos los elementos de una fila o columna son nulos a excepción de uno, el valor del determinante es igual al producto de ese elemento por su adjunto.