Apunts de Potències: Guia Completa i Exercicis

Apunts de potències

1. Què és una potència?

Una potència és una forma abreujada d'escriure una multiplicació on el mateix nombre (base) es multiplica per si mateix diverses vegades.

• Base

  
  Nombre que es multiplica.
• 
  

  Exponent

  Nombre de vegades que la base es multiplica.

Exemples:

• 23=2⋅2⋅2=82^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 823=2⋅2⋅2=8
• 54=5⋅5⋅5⋅5=6255^4 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 62554=5⋅5⋅5⋅5=625

2. Potències de base negativa

El resultat d'una potència amb base negativa depèn de si l'exponent és parell o imparell:

• Exponent parell: El resultat és positiu.
  
• Exponent imparell:
  El resultat és negatiu.
  

Exemples:

• (−3)2=(−3)⋅(−3)=9(-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = 9(−3)2=(−3)⋅(−3)=9 (parell, resultat positiu)
• (−3)3=(−3)⋅(−3)⋅(−3)=−27(-3)^3 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = -27(−3)3=(−3)⋅(−3)⋅(−3)=−27 (imparell, resultat negatiu)

3. Propietats de les potències

1. Producte de potències amb la mateixa base

   
   
   am⋅an=am+na^m \cdot a^n = a^{m+n}am⋅an=am+n
   Exemple: 23⋅24=23+4=272^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^723⋅24=23+4=27

2. Divisió de potències amb la mateixa base

   
   
   aman=am−n\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}anam​=am−n
   Exemple: 2523=25−3=22=4\frac{2^5}{2^3} = 2^{5-3} = 2^2 = 42325​=25−3=22=4

3. Potència d'una potència

   
   
   (am)n=am⋅n(a^m)^n = a^{m \cdot n}(am)n=am⋅n
   Exemple: (23)2=23⋅2=26=64(2^3)^2 = 2^{3 \cdot 2} = 2^6 = 64(23)2=23⋅2=26=64

4. Potència d'un producte

   
   
   (a⋅b)n=an⋅bn(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n(a⋅b)n=an⋅bn
   Exemple: (2⋅3)2=22⋅32=4⋅9=36(2 \cdot 3)^2 = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36(2⋅3)2=22⋅32=4⋅9=36

5. Potència d'un quocient

   
   
   (ab)n=anbn\left( \frac{a}{b} \right)^n = \frac{a^n}{b^n}(ba​)n=bnan​
   Exemple: (23)2=2232=49\left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9}(32​)2=3222​=94​

6. Exponent negatiu

   
   
   a−n=1ana^{-n} = \frac{1}{a^n}a−n=an1​
   Exemple: 2−3=123=182^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}2−3=231​=81​

4. Simplificació d'expressions amb potències

Podem simplificar expressions aplicant les propietats vistes anteriorment.

Exemple 1

66⋅69=66+9=6156^6 \cdot 6^9 = 6^{6+9} = 6^{15}66⋅69=66+9=615

Exemple 2

7−97−6=7−9−(−6)=7−3\frac{7^{-9}}{7^{-6}} = 7^{-9 - (-6)} = 7^{-3}7−67−9​=7−9−(−6)=7−3

Exemple 3

(−5)3⋅(−5)−2=(−5)3−2=(−5)1=−5(-5)^3 \cdot (-5)^{-2} = (-5)^{3-2} = (-5)^1 = -5(−5)3⋅(−5)−2=(−5)3−2=(−5)1=−5

5. Potències de base 10 i notació científica

Les potències de base 101010 són útils per expressar nombres molt grans o petits.

Exemples

• 103=1.00010^3 = 1.000103=1.000
• 10−3=0,00110^{-3} = 0,00110−3=0,001

Notació científica

• Un nombre en notació científica s'expressa com a⋅10na \cdot 10^na⋅10n, on 1≤∣a∣<101 \leq |a| < 101≤∣a∣<10.

Exemple:

• 123.000=1,23⋅105123.000 = 1,23 \cdot 10^5123.000=1,23⋅105
• 0,00045=4,5⋅10−40,00045 = 4,5 \cdot 10^{-4}0,00045=4,5⋅10−4

6. Exercicis resolts

1. Producte de potències:
   34⋅32=34+2=363^4 \cdot 3^2 = 3^{4+2} = 3^634⋅32=34+2=36

2. Divisió de potències:
   5754=57−4=53=125\frac{5^7}{5^4} = 5^{7-4} = 5^3 = 1255457​=57−4=53=125

3. Exponent negatiu

   
   
   2−3=123=182^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}2−3=231​=81​

4. Potència d'una potència

   
   
   (42)3=42⋅3=46=4.096(4^2)^3 = 4^{2 \cdot 3} = 4^6 = 4.096(42)3=42⋅3=46=4.096

5. Potència d'un producte

   
   
   (2⋅3)2=22⋅32=4⋅9=36(2 \cdot 3)^2 = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36(2⋅3)2=22⋅32=4⋅9=36

Amb aquests apunts i exemples, ja tens un resum complet sobre el tema de les potències! 😊
Si vols aprofundir o necessites més exemples, només m'ho has de dir.

3. Propietats de les potències

1. Producte de potències amb la mateixa base

   
   
   am⋅an=am+na^m \cdot a^n = a^{m+n}am⋅an=am+n
   Exemple: 23⋅24=23+4=272^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^723⋅24=23+4=27

2. Divisió de potències amb la mateixa base

   
   
   aman=am−n\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}anam​=am−n
   Exemple: 2523=25−3=22=4\frac{2^5}{2^3} = 2^{5-3} = 2^2 = 42325​=25−3=22=4

3. Potència d'una potència

   
   
   (am)n=am⋅n(a^m)^n = a^{m \cdot n}(am)n=am⋅n
   Exemple: (23)2=23⋅2=26=64(2^3)^2 = 2^{3 \cdot 2} = 2^6 = 64(23)2=23⋅2=26=64

4. Potència d'un producte

   
   
   (a⋅b)n=an⋅bn(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n(a⋅b)n=an⋅bn
   Exemple: (2⋅3)2=22⋅32=4⋅9=36(2 \cdot 3)^2 = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36(2⋅3)2=22⋅32=4⋅9=36

5. Potència d'un quocient

   
   
   (ab)n=anbn\left( \frac{a}{b} \right)^n = \frac{a^n}{b^n}(ba​)n=bnan​
   Exemple: (23)2=2232=49\left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9}(32​)2=3222​=94​

6. Exponent negatiu

   
   
   a−n=1ana^{-n} = \frac{1}{a^n}a−n=an1​
   Exemple: 2−3=123=182^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}2−3=231​=81​

4. Simplificació d'expressions amb potències

Podem simplificar expressions aplicant les propietats vistes anteriorment.

Exemple 1

66⋅69=66+9=6156^6 \cdot 6^9 = 6^{6+9} = 6^{15}66⋅69=66+9=615

Exemple 2

7−97−6=7−9−(−6)=7−3\frac{7^{-9}}{7^{-6}} = 7^{-9 - (-6)} = 7^{-3}7−67−9​=7−9−(−6)=7−3

Exemple 3

(−5)3⋅(−5)−2=(−5)3−2=(−5)1=−5(-5)^3 \cdot (-5)^{-2} = (-5)^{3-2} = (-5)^1 = -5(−5)3⋅(−5)−2=(−5)3−2=(−5)1=−5

5. Potències de base 10 i notació científica

Les potències de base 101010 són útils per expressar nombres molt grans o petits.

Exemples:

• 103=1.00010^3 = 1.000103=1.000
• 10−3=0,00110^{-3} = 0,00110−3=0,001

Notació científica

• Un nombre en notació científica s'expressa com a⋅10na \cdot 10^na⋅10n, on 1≤∣a∣<101 \leq |a| < 101≤∣a∣<10.

Exemple:

• 123.000=1,23⋅105123.000 = 1,23 \cdot 10^5123.000=1,23⋅105
• 0,00045=4,5⋅10−40,00045 = 4,5 \cdot 10^{-4}0,00045=4,5⋅10−4

6. Exercicis resolts

1. Producte de potències:
   34⋅32=34+2=363^4 \cdot 3^2 = 3^{4+2} = 3^634⋅32=34+2=36

2. Divisió de potències:
   5754=57−4=53=125\frac{5^7}{5^4} = 5^{7-4} = 5^3 = 1255457​=57−4=53=125

3. Exponent negatiu

   
   
   2−3=123=182^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}2−3=231​=81​

4. Potència d'una potència

   
   
   (42)3=42⋅3=46=4.096(4^2)^3 = 4^{2 \cdot 3} = 4^6 = 4.096(42)3=42⋅3=46=4.096

5. Potència d'un producte

   
   
   (2⋅3)2=22⋅32=4⋅9=36(2 \cdot 3)^2 = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36(2⋅3)2=22⋅32=4⋅9=36

Amb aquests apunts i exemples, ja tens un resum complet sobre el tema de les potències! 😊
Si vols aprofundir o necessites més exemples, només m'ho has de dir.