Apuntes Esenciales de Matemáticas: Álgebra, Cálculo y Geometría

Álgebra Lineal

Truco Inversa: det, traspuesta, adjunto, adjunto entre det

Trouche For

Un sistema de ecuaciones lineales tiene solución si el rango de la matriz de los coeficientes es igual al de la matriz ampliada. rga=rgb. SC = num incog det 1 solución, no num I infinitas rganorgb SI

Sistema Lineal: Sistema de ecuaciones formado por ecuaciones lineales. Sistema de ecuaciones de n ecuaciones y m incógnitas, coeficientes y ampliada.

Sistema Equivalente: Cuando tienen el mismo conjunto de soluciones.

Sistema Homogéneo: Términos independientes cero, por lo menos una solución es cero.

Matrices y Determinantes

Producto de Matrices: Para poder realizar el producto de dos matrices AB, debe cumplirse que el número de columnas de la matriz A sea igual al número de filas de la matriz B. El producto se realiza con cada elemento de la fila de la matriz A por el correspondiente de la columna de la matriz B y sumando dichos productos.

El orden de la matriz resultante tendrá el mismo número de filas de la matriz A y el número de columnas de la matriz B. 23.31.21

Propiedades: Asociativa (si solo en el caso de la matriz I (neutro)), no suele conmutar (solo de un modo u otro varían), inversa en general tampoco, solo existe en las cuadradas y a veces tampoco existe en esos casos.

Producto Escalar: v.w=|v||w|cos IX. El valor absoluto es el producto del módulo de uno por la proyección de otro sobre él. |v.w|=[proxw(v) |w|=

Producto Vectorial: El producto vectorial de v y w es el vector

IX: El módulo del producto vectorial de dos vectores es igual al área del paralelogramo que determinan.

Cramer: Un sistema lineal de n ecuaciones con n incógnitas tiene única solución solo si el det de la matriz es distinto de cero K no cero.

Método de Gauss: Es un método de resolución de ecuaciones que consiste en la aplicación del método de reducción y que además permite estudiar los rangos de matrices y calcular la matriz inversa.

Sarrus: Nombre dado para recordar la expresión de hallar el det de una matriz cuadrada a través de estos productos más la dicha suma de tales.

Propiedades del Determinante: (a+b a)=det(b a)+(a a),= cero, o cero, num fuera

Cálculo Diferencial

Definición de Función Continua en un Punto: Una función f(x) definida en un intervalo (a,b) es continua en un punto x0 ∈ (a,b) cuando el límite de la función coincide con el valor de la función: f(x) continua en x0 lim f(x) x--x0=f(x0). Las funciones definidas a cachos hay que estudiarlas, lim izq derecha punto en la función y si coincide todo son continuas, tipos de discon SF SE SI.

Teorema de Bolzano: Si una función es continua en un intervalo [a,b] y tiene valores de signos distintos en los extremos del intervalo, c ∈ (a,b), en el que la función vale cero: f(c)=0

La consecuencia de este teorema es que una función continua en un intervalo cerrado [a,b] alcanza todos los valores comprendidos entre f(a) y f(b)

Teorema de Bolzano-Weierstrass:

Si una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a,b] entonces f(x) alcanza un máximo y un mínimo en ese intervalo

Valor Medio Integral: Sea f(x) una función continua en el intervalo [a,b] y por lo tanto, integrable en ese intervalo entonces existe un valor c ∈ (a,b) que cumple

IX: El teorema indica que hay un rectángulo de base el intervalo `[a,b]` y altura f(c) de xeito que a sua A é igual a area bajo grafica da funcion.

Valor Medio Diferencial: Una función es continua en un intervalo cerrado [a,b], derivable en el intervalo abierto (a,b) entonces hay un punto c ∈ (a,b) tal que:

En ese punto la tangente gráfica de la función es paralela a la recta secante que une los extremos de la gráfica en ese intervalo.

Derivada en un Punto: Es una medida instantánea de una función en un punto y se calcula

IX: La derivada en un punto coincide con la pendiente de la recta tangente y-f(xo)=df(x0)(x-x0)

¿Qué es un Punto de Inflexión?: Es el punto donde cambia la curvatura, la tangente corta la gráfica

Geometría Vectorial

Definición de Vector: Es una magnitud definida por tres características: módulo, dirección, sentido.

Representación (Ab) o bien ai+bj

-Prop, conmutativa asociativa una constante por un vector hay elemento neutro etc.

Definición de Módulo: Es la longitud del segmento que ocupa ese vector de su punto de aplicación hasta su extremo.

Ángulo Forman Dos Rectas Condición Perpendicularidad: Dos rectas son perpendiculares cuando lo son sus vectores directores, el producto escalar de ambos vectores es cero

Distancia de Dos Rectas que se Cruzan: Sería calculando la distancia mínima d(rr`)=|qp,v,v|/|v^v`|

Cálculo de la Recta Tangente: Es un cálculo relacionado con la derivada y su aplicación ya que la derivada es la pendiente de la recta tangente en un punto dado y-f(x0)=f`(x0)(x-x0)