Aplicaciones Prácticas de Distribuciones de Probabilidad: Normal, Poisson y Binomial

Problema 1: Aplicación de la Distribución Normal

Pregunta:

Una enfermedad relacionada con el trabajo afecta hasta a 23,000 trabajadores al año, con un costo promedio de $30,000 y una desviación estándar de $9,000. ¿Qué proporción de costos está entre $50,000 y $20,000?

Proceso de Solución:

Este problema se resuelve utilizando la Distribución Normal. Primero, se estandarizan los valores de $50,000 y $20,000 usando la fórmula Z: z = (x - μ) / σ, donde x es el valor, μ es la media ($30,000) y σ es la desviación estándar ($9,000).

• z1 = (50000 - 30000) / 9000 = 2.22
• z2 = (20000 - 30000) / 9000 = -1.11

Luego, se consulta una tabla de la Distribución Normal Estándar o se utiliza una calculadora para encontrar la probabilidad entre estos dos valores Z. La probabilidad de que Z esté entre -1.11 y 2.22 es aproximadamente 0.860.

Respuesta:

La proporción de costos entre $20,000 y $50,000 es aproximadamente 0.860 o 86%.

Problema 2: Aplicación de la Distribución de Poisson

Pregunta:

Una compañía produce plumas, con un promedio de 1.2 plumas defectuosas por caja de 200 plumas. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar ocho o más plumas defectuosas en una caja?

Proceso de Solución:

Este problema se resuelve utilizando la Distribución de Poisson. La variable aleatoria X representa el número de plumas defectuosas en una caja, y sigue una Distribución de Poisson con λ = 1.2. La probabilidad de encontrar ocho o más plumas defectuosas se calcula como:

P(X ≥ 8) = 1 - P(X ≤ 7)

Para calcular P(X ≤ 7), se utiliza la fórmula de la Distribución de Poisson:

P(X = k) = (e^-λ * λ^k) / k!

donde k = 0, 1, 2, ..., 7. Se suman estas probabilidades para obtener P(X ≤ 7), y luego se resta de 1 para obtener P(X ≥ 8). Se puede usar una calculadora o software estadístico para calcular esto.

Respuesta:

La probabilidad de encontrar ocho o más plumas defectuosas en una caja es aproximadamente 0.0004 o 0.04%.

Problema 3: Aplicación de la Distribución Binomial

Pregunta:

Oreos controla el 10% del mercado de galletas. Si se seleccionan al azar 15 compradores de galletas, ¿cuál es la probabilidad de que cuatro o menos compradores escojan Oreo?

Proceso de Solución:

Este problema se resuelve usando la Distribución Binomial. La probabilidad de éxito (un comprador elige Oreo) es p = 0.1, y el número de ensayos (compradores) es n = 15. La probabilidad de que cuatro o menos compradores escojan Oreo se calcula como:

P(X ≤ 4) = Σ (nCk) * p^k * (1-p)^(n-k) para k = 0, 1, 2, 3, 4

donde nCk es la combinación de n tomados k a la vez. Se puede usar una calculadora o software estadístico para calcular esta suma.

Respuesta:

La probabilidad de que cuatro o menos compradores escojan Oreo es aproximadamente 0.987 o 98.7%.

Consideraciones Finales

Espero que estas soluciones sean útiles. Recuerda que para obtener resultados más precisos, es recomendable utilizar software estadístico o una calculadora científica con funciones estadísticas.