Aplicaciones Lineales: Núcleo, Imagen, Isomorfismos y Matrices Asociadas

Aplicaciones Lineales

Definición

Sean E, E₀ dos espacios vectoriales sobre R. Se dice que f : E → E₀ es una aplicación lineal (u homomorfismo de R-espacios vectoriales) si:

f(λ₁e₁ + λ₂e₂) = λ₁f(e₁) + λ₂f(e₂), ∀e₁, e₂ ∈ E, ∀λ₁, λ₂ ∈ R.

Si f : E → E es una aplicación lineal de un espacio en sí mismo, se denomina endomorfismo.

Núcleo e Imagen

Definición

Sea f : E → E₀ una aplicación lineal. Se llama Núcleo de f y se denota por Ker f, al conjunto:

Ker f = {e ∈ E : f(e) = 0_E0 }

Se llama Imagen de f y se denota por Im f, al conjunto

Im f = {e₀ ∈ E₀ : ∃ e ∈ E con f(e) = e₀ }

Isomorfismos

Definición

Una aplicación lineal f : E → E₀ se dice isomorfismo si la aplicación es biyectiva.

Proposición

1. f es isomorfismo ⇔
   Ker f = 0_E
   Im f = E₀
2. f es isomorfismo ⇔ dim E = dim Im f = dim E₀
3. La composición de isomorfismos es isomorfismo
4. Si f : E → E₀ es isomorfismo, también lo es f^-1
5. Si dim E = n, entonces E es isomorfo a Rⁿ.

Matriz Asociada a una Aplicación Lineal

Definición

Sea f : E → E₀ una aplicación lineal, y sean B = {e₁, ..., e_n}, B₀ = {e₀₁, ..., e_0m} sendas bases de E y E₀ respectivamente. Se denomina matriz asociada a f en las bases B y B₀ y se denota M_f(B, B₀) a la matriz m × n que tiene por columnas las imágenes de los vectores de la base B expresados en función de la base B₀.

Matrices Equivalentes

Definición

Las matrices A y A₀ se dicen equivalentes si están asociadas a la misma aplicación lineal.

Proposición

A y A₀ son equivalentes ⇔
existen P y Q no singulares tales que A₀ = Q^-1 · A · P

Demo

La demostración se basa en la fórmula de cambio de base.

Observación

De la proposición anterior se deduce que el rango de la matriz asociada a una aplicación lineal es independiente de las bases escogidas para su construcción.

Matrices Semejantes

Definición

Las matrices A y A₀ se dicen semejantes si están asociadas al mismo endomorfismo.