Aplicaciones Clave de la Derivada: Extremos, Concavidad y Recta Tangente

Aplicaciones Fundamentales de la Derivada en el Estudio de Funciones

1. Estudio Completo de una Función a partir de su Derivada Primera

Dada la función derivada de una función f, f'(x) = 3x² - 12x + 9, realizaremos un estudio detallado de sus propiedades.

a) Determinación de Extremos Relativos e Intervalos de Monotonía

Para encontrar los extremos relativos, igualamos la primera derivada a cero:

f'(x) = 3x² - 12x + 9 = 0

Resolviendo la ecuación cuadrática, obtenemos las soluciones: x = 1 y x = 3.

Para determinar los intervalos de monotonía, evaluamos el signo de f'(x) en puntos a la izquierda y derecha de estas soluciones:

• Para x < 1 (elegimos x = 0): f'(0) = 9 > 0. Por lo tanto, f(x) es estrictamente creciente en el intervalo (-∞, 1).
• Para 1 < x < 3 (elegimos x = 2): f'(2) = 3(2)² - 12(2) + 9 = 12 - 24 + 9 = -3 < 0. Por lo tanto, f(x) es estrictamente decreciente en el intervalo (1, 3).
• Para x > 3 (elegimos x = 4): f'(4) = 3(4)² - 12(4) + 9 = 48 - 48 + 9 = 9 > 0. Por lo tanto, f(x) es estrictamente creciente en el intervalo (3, +∞).

Por definición, en x = 1 la función pasa de creciente a decreciente, lo que indica un máximo relativo. En x = 3, la función pasa de decreciente a creciente, lo que indica un mínimo relativo.

b) Determinación de Puntos de Inflexión e Intervalos de Concavidad/Convexidad

Calculamos la segunda derivada y la igualamos a cero para encontrar posibles puntos de inflexión:

f''(x) = 6x - 12 = 0

Resolviendo, obtenemos: x = 2.

Para determinar los intervalos de concavidad y convexidad, evaluamos el signo de f''(x) en puntos a la izquierda y derecha de esta solución:

• Para x < 2 (elegimos x = 0): f''(0) = -12 < 0. Por lo tanto, f(x) es cóncava (∩) en el intervalo (-∞, 2).
• Para x > 2 (elegimos x = 3): f''(3) = 6(3) - 12 = 18 - 12 = 6 > 0. Por lo tanto, f(x) es convexa (∪) en el intervalo (2, +∞).

Por definición, en x = 2 la función cambia de concavidad, lo que indica un punto de inflexión.

c) Cálculo de la Ecuación de la Recta Tangente

La ecuación de la recta tangente a f(x) en x = 2 viene dada por la fórmula: y – f(2) = f'(2)(x - 2).

Se nos indica que la recta pasa por el punto (2, 5), lo que significa que f(2) = 5.

Calculamos el valor de la primera derivada en x = 2:

f'(x) = 3x² - 12x + 9

f'(2) = 3(2)² - 12(2) + 9 = 12 - 24 + 9 = -3.

Sustituyendo estos valores en la ecuación de la recta tangente:

y - 5 = (-3)(x - 2)

La recta tangente pedida es: y = -3x + 6 + 5, es decir, y = -3x + 11.

2. Determinación de Parámetros y Recta Tangente en una Función Polinómica

Consideremos la función f(x) = ax³ + bx² + x.

a) Cálculo de los Coeficientes 'a' y 'b'

Sabemos que si f(x) tiene un máximo en x = 1, entonces la primera derivada en ese punto es cero: f'(1) = 0.

Primero, calculamos la primera derivada de f(x):

f'(x) = 3ax² + 2bx + 1.

Aplicando la condición f'(1) = 0:

0 = 3a(1)² + 2b(1) + 1

3a + 2b = -1 (Ecuación 1)

También se nos indica que f(1) = 2. Sustituimos en la función original:

2 = a(1)³ + b(1)² + 1

2 = a + b + 1

a + b = 1 (Ecuación 2)

Ahora, resolvemos el sistema de ecuaciones. De la Ecuación 2, despejamos b: b = 1 - a.

Sustituimos b en la Ecuación 1:

3a + 2(1 - a) = -1

3a + 2 - 2a = -1

a = -1 - 2

a = -3

Sustituimos el valor de a en la expresión de b:

b = 1 - (-3)

b = 4

Por lo tanto, los coeficientes son a = -3 y b = 4.

b) Ecuación de la Recta Tangente para a = b = 1

Para a = 1 y b = 1, la función es f(x) = x³ + x² + x.

La ecuación de la recta tangente en el punto de abscisa x = 0 es: y – f(0) = f'(0)(x - 0).

Calculamos f(0):

f(0) = (0)³ + (0)² + (0) = 0.

Calculamos la primera derivada de f(x):

f'(x) = 3x² + 2x + 1.

Calculamos f'(0):

f'(0) = 3(0)² + 2(0) + 1 = 1.

Sustituimos estos valores en la ecuación de la recta tangente:

y - 0 = 1(x - 0)

La recta tangente pedida es: y = x.

3. Estudio de Continuidad, Derivabilidad y Recta Tangente en una Función a Trozos

Sea la función f: R → R definida mediante:

f(x) = { e⁻ˣ si x < 0
       { x³ - x + 1 si x ≥ 0

a) Estudio de la Continuidad en x = 0

Para que f(x) sea continua en x = 0, se deben cumplir tres condiciones:

1. f(0) debe existir: f(0) = (0)³ - (0) + 1 = 1.
2. El límite de f(x) cuando x tiende a 0 debe existir:
   • Límite por la izquierda: lim_x→0⁻ (e⁻ˣ) = e⁰ = 1.
   • Límite por la derecha: lim_x→0⁺ (x³ - x + 1) = (0)³ - (0) + 1 = 1.
   Dado que los límites laterales son iguales, lim_x→0 f(x) = 1.
3. f(0) = lim_x→0 f(x): 1 = 1.

Dado que las tres condiciones se cumplen, la función f(x) es continua en x = 0. Además, es continua en su dominio (R) ya que las funciones parciales son continuas en sus respectivos intervalos abiertos.

b) Estudio de la Derivabilidad en x = 0

Primero, calculamos la función derivada para cada trozo:

f'(x) = { -e⁻ˣ si x < 0
        { 3x² - 1 si x > 0

Para que f(x) sea derivable en x = 0, las derivadas laterales deben ser iguales:

• Derivada por la izquierda en x = 0: f' (0⁻) = -e⁻⁰ = -1.
• Derivada por la derecha en x = 0: f' (0⁺) = 3(0)² - 1 = -1.

Dado que f' (0⁻) = f' (0⁺) = -1, la función f(x) es derivable en x = 0. Además, es derivable en su dominio (R) ya que las funciones parciales son derivables en sus respectivos intervalos abiertos.

c) Ecuación de la Recta Tangente en x = 1

La ecuación de la recta tangente en x = 1 es: y - f(1) = f'(1)(x - 1).

Como x = 1 > 0, usamos la segunda parte de la función para f(x) y f'(x):

• Calculamos f(1): f(1) = (1)³ - (1) + 1 = 1.
• Calculamos f'(1): f'(1) = 3(1)² - 1 = 3 - 1 = 2.

Sustituyendo estos valores en la ecuación de la recta tangente:

y - 1 = 2(x - 1)

y - 1 = 2x - 2

La recta tangente pedida es: y = 2x - 1.