Aplicación de Pruebas de Hipótesis y ANOVA en el Control de Calidad Industrial

Prueba de Hipótesis para la Media Poblacional

Una empresa productora de envases metálicos asegura que el peso promedio de sus tapas es de 10.0 gramos. Como ingeniero de calidad, deseas verificar esta afirmación porque algunos clientes han reportado que las tapas parecen más ligeras de lo habitual.

Objetivo

Verificar si el peso promedio de las tapas es diferente al establecido (10.0 g).

1. Planteamiento del problema

¿El peso promedio de las tapas producidas difiere de 10.0 gramos?

2. Formulación de las hipótesis

• Hipótesis nula (H₀): μ = 10.0
  (El peso promedio es igual a 10.0 g)

• Hipótesis alternativa (H₁): μ ≠ 10.0
  (El peso promedio es diferente de 10.0 g)

→ Este es un caso de prueba bilateral.

3. Nivel de significancia (α)

α = 0.05 (nivel de confianza del 95%)

4. Tipo de prueba

Dado que se conoce la desviación estándar de la población, se aplicará una prueba Z para la media.

5. Datos muestrales

• Tamaño de la muestra (n): 36 tapas

• Media muestral (x̄): 9.8 g

• Desviación estándar poblacional (σ): 0.6 g

6. Cálculo del estadístico de prueba

Z = (x̄ − μ₀) / (σ / √n)
Z = (9.8 − 10.0) / (0.6 / √36)
Z = (−0.2) / (0.6 / 6)
Z = (−0.2) / 0.1 = −2.0

7. Región crítica

Como es una prueba bilateral con α = 0.05:

• Zα/2 = ±1.96 (valor crítico en tabla Z)

8. Decisión

Como Z = −2.0 < −1.96 → se encuentra en la región de rechazo de H₀.

Ejemplo práctico: ANOVA de un factor

Supón que una empresa quiere evaluar si tres máquinas diferentes producen piezas con el mismo diámetro promedio.

Datos: (medidas de diámetro en mm)

• Máquina A: 10.01, 10.03, 9.98

• Máquina B: 10.10, 10.11, 10.08

• Máquina C: 9.95, 9.96, 9.94

Paso 1: Calcular las medias de cada grupo

• Media A = (10.01 + 10.03 + 9.98) / 3 = 10.0067

• Media B = (10.10 + 10.11 + 10.08) / 3 = 10.0967

• Media C = (9.95 + 9.96 + 9.94) / 3 = 9.9500

Paso 2: Calcular la media general

Media general = (suma de todos los datos) / 9
= (10.01 + 10.03 + 9.98 + 10.10 + 10.11 + 10.08 + 9.95 + 9.96 + 9.94) / 9
= 90.16 / 9 = 10.0178

🔢 PASO 3: Calcular la Suma de Cuadrados Total (SST)

La Suma de Cuadrados Total (SST) mide la variabilidad total de los datos respecto a la media general. En otras palabras, mide cuánto se dispersan todas las observaciones respecto al promedio general, sin importar de qué grupo provienen.

Fórmula:

SST = Σ (Xᵢⱼ − X̄total)²

Donde:

• Xᵢⱼ es cada dato individual

• X̄total es la media total de todas las observaciones

Cálculo paso a paso:

SST =
(10.01 − 10.0178)² +
(10.03 − 10.0178)² +
(9.98 − 10.0178)² +
(10.10 − 10.0178)² +
(10.11 − 10.0178)² +
(10.08 − 10.0178)² +
(9.95 − 10.0178)² +
(9.96 − 10.0178)² +
(9.94 − 10.0178)²

Calculamos cada término:

• (−0.0078)² = 0.000061

• (0.0122)² = 0.000149

• (−0.0378)² = 0.001428

• (0.0822)² = 0.006759

• (0.0922)² = 0.008501

• (0.0622)² = 0.003870

• (−0.0678)² = 0.004596

• (−0.0578)² = 0.003342

• (−0.0778)² = 0.006052

🔢 PASO 4: Calcular la Suma de Cuadrados Entre Grupos (SSA)

La Suma de Cuadrados Entre Grupos (SSA) mide la variabilidad que existe entre los grupos. Nos indica qué tanto se alejan las medias de los grupos respecto a la media general.

Fórmula:

SSA = n × Σ (X̄ᵢ − X̄total)²

Donde:

• n = número de datos por grupo (en este caso, 3)

• X̄ᵢ = media de cada grupo (A, B, C)

• X̄total = media general

Cálculo paso a paso:

SSA = 3 × [
(10.0067 − 10.0178)² +
(10.0967 − 10.0178)² +
(9.9500 − 10.0178)²
]

= 3 × [
(−0.0111)² +
(0.0789)² +
(−0.0678)²
]

= 3 × [
0.000123 + 0.006229 + 0.004598
]

= 3 × 0.01095 = 0.03285

SSA ≈ 0.0329

Paso 5: Calcular la Suma de Cuadrados dentro de los grupos (SSE)

SSE = SST − SSA

PASO 6: Grados de libertad (df)

Los grados de libertad (df) son los valores que usamos para dividir las sumas de cuadrados y calcular los cuadrados medios. Se relacionan con la cantidad de datos y grupos.

Fórmulas:

• Total: dfT = N − 1 = 9 − 1 = 8 (N = total de observaciones)

• Entre grupos: dfA = k − 1 = 3 − 1 = 2 (k = número de grupos)

• Dentro de grupos (o Error): dfE = N − k = 9 − 3 = 6

PASO 7: Calcular los cuadrados medios (MSA y MSE)

Los cuadrados medios son promedios de las sumas de cuadrados, divididas entre sus respectivos grados de libertad.

Fórmulas:

• MSA (cuadrado medio entre grupos) = SSA / dfA
  = 0.03285 / 2 = 0.01643

• MSE (cuadrado medio del error) = SSE / dfE
  Recordemos que: SSE = SST − SSA = 0.0348 − 0.03285 = 0.00195
  → MSE = 0.00195 / 6 = 0.000325

Paso 8: Calcular el estadístico F

F = MSA / MSE

Paso 9: Comparar con la tabla F de Fisher

Si F calculado > F crítico (de la tabla), se rechaza la hipótesis nula H₀.