Aplicación Práctica del Método de Gauss-Jordan en Álgebra Lineal

El Método de Gauss-Jordan

En este documento exploraremos la resolución de sistemas de ecuaciones lineales mediante el Método de Gauss-Jordan. Aunque a menudo se le conoce simplemente como el Método de Gauss, es importante recordar que el matemático Wilhelm Jordan colaboró de manera fundamental en su desarrollo. ¡Démosle el crédito que merece!

Paso 1: Notación Matricial y la Matriz Ampliada

El primer paso consiste en transformar el sistema de ecuaciones lineales a notación matricial. Es crucial recordar que cada columna de la matriz corresponde a los coeficientes de una misma incógnita. Trabajaremos específicamente con la matriz ampliada, que es aquella que incluye los términos independientes del sistema.

Para comprender mejor el proceso, resolveremos el siguiente sistema como ejemplo:

Al pasar el sistema a notación matricial, obtenemos:

Paso 2: El Objetivo de la Eliminación Gaussiana

Una vez establecida la matriz ampliada, el objetivo principal del método de Gauss (la primera fase del Gauss-Jordan) es transformar la matriz de coeficientes en una matriz triangular superior. Esto se logra haciendo cero los elementos situados debajo de la diagonal principal (la diagonal de la matriz de coeficientes, sin incluir la columna de términos independientes).

Nuestra misión es anular los elementos de la matriz que se muestran coloreados:

Fundamento Teórico: El Teorema Fundamental de Equivalencia

Para realizar estas transformaciones, aplicamos el Teorema Fundamental de Equivalencia, que establece:

Si en un sistema de ecuaciones lineales se sustituye la ecuación $i$-ésima por una combinación lineal de dicha ecuación y las demás ecuaciones del sistema (siempre que el coeficiente que multiplique a la ecuación $i$-ésima sea distinto de cero), el sistema resultante es equivalente.

Este teorema nos permite realizar operaciones elementales por filas sin alterar el conjunto solución del sistema. Necesitaremos agilidad mental para determinar las combinaciones lineales óptimas que nos permitan anular los elementos deseados.

Paso 3: Aplicación de Operaciones Elementales por Fila

Comenzamos con la matriz inicial: . Debemos proceder con cautela, asegurando que cada transformación mantenga la equivalencia del sistema.

Eliminación del elemento $a_{21}$ (Fila 2)

Nuestro primer objetivo es anular el coeficiente 2 en la segunda fila. Aplicamos la siguiente operación elemental:

$$(R_2') = (R_2) - 2(R_1)$$

Esta notación significa que la nueva segunda fila ($R_2'$) se obtiene restando a la original la primera fila multiplicada por 2. Para hacer esta operación es muy útil trabajar con vectores:

$$(R_2') = (2, -4, 2, 1) - 2(1, -3, 5, 2) = (2, -4, 2, 1) + (-2, +6, -10, -4)$$

$$(R_2') = (0, +2, -8, -3)$$

Eliminación del elemento $a_{31}$ (Fila 3)

Ahora procedemos con la tercera fila. Buscamos la combinación más sencilla (la ley del mínimo esfuerzo):

$$(R_3') = (R_3) + (R_1) = (-1, 1, 3, 1) + (1, -3, 5, 2) = (0, -2, 8, 3)$$

Nota sobre la Elección de Combinaciones

Es importante destacar que no existe una única combinación correcta; sin embargo, siempre debemos elegir aquella que simplifique el cálculo.

Matriz Intermedia

La matriz obtenida tras las primeras transformaciones es:

Dado que hemos aplicado correctamente el Teorema Fundamental de Equivalencia, esta matriz es equivalente a la original.

Eliminación del elemento $a_{32}$

El último paso para obtener la forma escalonada es anular el coeficiente $-2$ en la tercera fila. La operación más directa es:

$$(R_3'') = (R_3') + (R_2')$$

$$(R_3'') = (0, -2, 8, 3) + (0, 2, -8, -3) = (0, 0, 0, 0)$$

La matriz resultante es:

Interpretación de la Fila Nula

Obtener una fila completa de ceros ($0 = 0$) es un caso especial que indica que una de las ecuaciones originales era una combinación lineal de las otras, lo que significa que las ecuaciones no son linealmente independientes. Esto es un indicio de que el sistema tendrá infinitas soluciones.

Paso 4: Retorno al Sistema de Ecuaciones y Solución

El paso final es el inverso al inicial: transformar la matriz escalonada resultante de nuevo a un sistema de ecuaciones lineales. Este nuevo sistema es equivalente al original, pero mucho más sencillo de resolver. El sistema resultante es:

Al despejar las variables, obtenemos las correspondientes soluciones en función de la variable $z$ (que actúa como parámetro libre):

Clasificación del Sistema

Observamos que, dado que la variable $z$ puede tomar cualquier valor real, existen infinitas soluciones. Por lo tanto, el sistema se clasifica como Compatible Indeterminado (es compatible porque tiene solución, e indeterminado porque posee infinitas soluciones).

Conclusión

El Método de Gauss-Jordan es una herramienta fundamental y entretenida en el álgebra lineal para la resolución sistemática de ecuaciones. ¡Ahora está listo para aplicar estos conocimientos en la práctica!