Ángulos entre Vectores, Conjuntos Abiertos y Cerrados en R^n

Defina los conceptos de ángulo de dos vectores no nulos y de vectores ortogonales en R^n

Definición

Dado dos vectores no nulos x,y€R^n se define eñ ángulo formado por x e y como el único numero Φ€[0,Pi tal que el cosΦ=(x|y)/||x|| ||y||

Se dice que dos vectores x,y€Rⁿ son ortogonales si (x|y)=0. Si A wa un subconjunto no vacío de Rⁿ se llama complemento ortogonal de A al conjunto

A™ = { x€Rⁿ  (x|a) =0 √a€A}

Si x,y€Rⁿ son vectores no nulos, se llama proyección ortogona de x sobre y al vector ηy(x)=((x|y/(y|y) y

Defina los conjuntos bola abierta, bola cerrada y esfera en R^n. (con una norma arbitraria ||.||)

Sea ||.|| una norma arbitraria en R^n. Sean a€R^n y r€R^+. La bola abierta en R^n de centro a y de radio r es el conjunto Ba,r)={x€ R^n ||x-a||<>

La bola abuerta reducida en R^n de centro a y de radio r es el conjunto B^*(a,r)={x€R^n 0<><>

La bola cerrada en R^n de centro a y radio r es el conjunto (a,r) ={ x€ R^n ||x-a||≤r}

la esfera en R^n de centro a y radio r es el conjutno S(a,r)= {x€R^n 0<>

En particular, para a = 0R^N y r = 1, los conjuntos
B(0R^N, 1) = { x€ R^n ||x||<>
BR^N := (0R^N ,1) ={ x€ R^n ||x||<>y
SR^N := S(0R^N , 1) =  { x€ R^n ||x||=1}
se denominan bola unidad abierta, bola unidad (cerrada) y esfera unidad de RN, respectivamente.

Se dice que A es abierto si A es vacío o si para cada a€A, existe un ra>0 tall que B(a,ra)A

Se duce que A es cerrado si su complementario Rⁿ\A es abierto

Se dice que A es acotado si A es vacío o existe una constante α>0 tal que ||x||≤α para todo x€A

Se duce que A es cimpacto si A es cerrado y acotado 

Preuve que la unión de cualquier familia de conjuntos abuertos de Rⁿ  es un conjunto abierto

Sea{Gi: i€I} una familia de conjuntos abiertos de Rⁿ        Si entonces  es abierto. En otro caso dado que x€  existes i0€I tal que x€Gi0. Por ser Gi0 abierto existes r€R⁺ tal que B(x,r) Gi0 y así B(x,r). Esto prueba que  es abierto.

Pruebe que la intersección de toda familia finita de conjuntos cerrado de Rⁿ es un conjunto cerrado.

Sea{Fi  i€I} una familia de cerrados. Puesto que cada conjunto Rⁿ/Fi es un abierto de Rⁿ, Rⁿ\∩i€I Fi= Ui€I (Rⁿ\Fi) y la unión de cualquier familia de abiertos de Rⁿ es un abierto de Rⁿ se tiene que Rⁿ\∩i€I Fi es un abierto y por tanto  ∩i€I Fi es un cerrado

Prueve que toda bola abierta de Rⁿ es un abierto en Rⁿ

Toda bola abierta B(a, r) de R^Nes un conjunto abierto, pues si x €B(a, r), entonces
s = r - ||x -a||> 0 y B(x, s) CB(a, r). En efecto, si y €B(x, s) se tiene que
||y - a|| ≤ ||y -x||+ ||x -a||< s="">+ ||x -a||= r
En particular, los intervalos abiertos de R son conjuntos abiertos en R, ya que para cualesquiera
a, b €R con a < b="">se tiene que
]a, b[ = B ((a+b)/2 , (b-a)/2)

Pruebe que toda bola cerra de Rⁿ es compacta

Si la bola cerrada unidad es compàcta, entonces cualquier bola cerrada es compacta, luego cada punto adimite un entorno compacto, es decir que E es localmentre compacto, Recíprocamente si a admite un entorno V compacto, entonces también es compacta cualquier bola cerrada con centro en a contenida en V, por tanto la bola cerrada unidad es compacta

Defina los conceptos de punto interior de A, punto exterior de A y punto frontera de A

Se dice que x es un punto interior de A si existe una bola de abierta de centro x contenida en A.
El conjunto formado por todos los puntos interiores de A se llama interior de A y se denotará por
Int(A).
Se dice que x es un punto exterior de A si existe una bola abierta de centro x contenida en el
complementario de A. El conjunto de los puntos exteriores de A se llama exterior de A y se denotará
por Ext(A).
Se dice que x es un punto frontera de A si toda bola abierta de centro x contiene puntos de A y de Rⁿ\A
. El conjunto de los puntos frontera de A se llama frontera de A y se denotará por Front(A).

Pruebe que Int(A) es el mayor conjunto abierto contenido en A deduzca.

A)Inte (A) e sla unión de todos los conjutnos abuertos contenidos en A

B)A es abierto su y solo si A=Int(A)

Si Int(A) = Φ entonces Int(A) es un conjunto abierto contenido en A. En otro caso,
sea x €Int(A). Entonces existe r > 0 tal que B(x, r) C A de donde x €A y así Int(A) C A. Para cada
y €B(x, r), por ser B(x, r) abierto, existe ry > 0 tal que B(y, ry) B(x, r), luego B(y, ry) CA y
por tanto y €Int(A). Hemos probado que B(x; r) Int(A) y por tanto Int(A) es abierto. En cualquier
caso Int(A) es un conjunto abierto contenido en A.
Sea G C Rⁿun conjunto abierto tal que G CA. Si G = Φ entonces G CInt(A). En otro caso, sea
x €G. Por ser G abierto, existe r > 0 tal que B(x, r) CG. Luego B(x, r) CA y por tanto x €Int(A).
Así pues G CInt(A). Luego Int(A) es el mayor conjunto abierto contenido en A.
Probemos ahora las consecuencias
a)  Sea B la uníón de todos los conjuntos abiertos contenidos en A. Como Int(A) es un conjunto
abierto contenido en A, entonces Int(A) C B. Por otra parte, como B es un conjunto abierto contenido
en A y el Int(A) es el mayor conjunto abierto contenido en A, se tiene que B CInt(A). Luego Int(A) =B.

b) Si A es abierto, entonces A C Int(A) ya que Int(A) es el mayor conjunto abierto contenido en A
y, como siempre Int(A) C A, se sigue que A = Int(A). Recíprocamente, si A = Int(A), entonces A es
abierto por serlo Int(A)

Justifuqye que el conjunto Ext(A) es abierto y el conjunto Front(A) es cerrado

Sea A un subconjutno de Rⁿ y x un punto de Rⁿ De esto se deduce que Ext(A)=Int(Rⁿ\A) y como el unterior de cualquier conjunto es abierto se sigue que el conjunto Ext(A) es abierto por otro parte el conjunto Front(A) es cerrado ya que los conjuntos Int(A) y Ext(A) sin abuierto y Front(A)=Rⁿ\(Int(A) Ext(A))

Defina los conceptos de punto de adherencia de A, punto de acumulación de A y punto aislado de A.Indique las relaciones entre estos tres tipos de puntos.

Se dice que x es un punto de adherencia de S si toda bola abierta de centro x contiene puntos de A Se llama adherencia de S al conjunto formado por todos los puntos de adherencia de S y se demostrara por

Se dice que x es un punto de acumulación de A si toda bola abierta de centro c contiene`puntos de A distintos de x. El conjunto formado por todos los untos de acumulación de S se llama conjuto derivado o conjunto de acumulación de A y se designara por A'

Sea A un subconjunto de Rⁿ Se duce que un punto a €A es un punto aislado de A si existe algún r>0 tal que B(a,r)∩={a} notaremos por Aisl(A) al conjunto de los puntos aislados de A

-Todo punto aislado no puede ser de acuulacion

-todo puntos aislado o de acumulación también lo es de adherencia

Pruebe que es el menor conjunto cerrado que contiene a A deduzca

A) es la intersección de todos los conjuntos cerrados que contienen a A

B) A es cerrado si y solo si A=

Sabemos que A C . Como
Rⁿ\ = x €Rⁿ: r > 0 / B(x, r) ∩A = Φ

x €Rⁿ r > 0 = B(x, r) CRⁿ\A}= Int(Rⁿ\A)
es abierto, entonces es cerrado. Observe que arriba hemos probado que Rⁿ\= Ext(A).
Sea F C Rⁿun conjunto cerrado tal que A CF. Entonces Rⁿ\Fes un conjunto abierto tal que

Rⁿ\F

C Rⁿ\A. Como Int(Rⁿ\A) es el mayor conjunto abierto contenido en Rⁿ\A, se sigue que

Rⁿ\F CInt(Rⁿ\A), pero Int(Rⁿ\A) = Rⁿ\A, luego CF. Por tanto es el menor conjunto
cerrado que contiene a A.
(1) Sea B la intersección de todos los conjuntos cerrados que contienen a A. Como es un conjunto
cerrado que contiene a A, entonces B C . Por otra parte, como B es un conjunto cerrado que contiene
a A y es el menor conjunto cerrado que contiene a A, entonces CB. Así pues = B.
(2) Si A es cerrado, entonces CA ya que es el menor conjunto cerrado que contiene a A y como
siempre A C , se tiene A = . Recíprocamente, si A = , entonces A es cerrado ya que lo es